ユークリッド原論をどう読むか（９）
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ユークリッド原論

第５巻

命題５ー２３（乱比例の等間隔比は同じ比）
もし
　３つの量と
　それらと同じ個数の別の量とがあり、
　２つずつとられたとき
　　同じ比をなし、
　それらの比例が
　《いれかえれる》［乱比例］ならば、
　等間隔比により
　それらは
　　同じ比をなすであろう。

• 量は、定義５ー１の補足 による。
• 個数は、定義５ー１７の補足 による。
• 同じ比は、定義５ー５ による。
• 比例は、定義５ー６ による。
• 乱比例は、定義５ー１８による。
• 等間隔比は、定義５ー１７ による。

３つの量Ａ、Ｂ、Ｃと
　それらと同じ個数の別の量
　　Ｄ、Ｅ、Ｆとがあり、
　２つずつとられたとき
　同じ比《をなすとし》［であり］、
　それら《の比例がいれかえれ、》
　［が乱比例をなし、］
　すなわち、
　ＡがＢに対するように、
　　ＥがＦに対し、
　ＢがＣに対するように、
　　ＤがＥに対するとせよ。

• 　量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｅ
  に対して、
  　Ｆ[;;Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ]、
  　Ｄ[;;Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ]
  をとっている。

ＡがＣに対するように、
　ＤがＦに対すると主張する。
Ａ、Ｂ、Ｄの［任意の］同数倍Ｇ、Ｈ、Ｋと
　Ｃ、Ｅ、Ｆの別の任意の同数倍Ｌ、Ｍ、Ｎとが
　とられたとせよ。【・・・(a)】

• 推論の設定である。
• 同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は、
  　コメント２（命題５ー４）参照のこと。
• 　(Ｇ、Ｈ、Ｋ)＝ｐ(Ａ、Ｂ、Ｄ)、
  　(Ｌ、Ｍ、Ｎ)＝ｑ(Ｃ、Ｅ、Ｆ)
  をとっている。

そうすれば
　Ｇ、ＨはＡ、Ｂの同数倍であり、【・・・(1)】

• (a) にある。
• 　(Ｇ、Ｈ)＝ｐ(Ａ、Ｂ)
  となっている。

　約量は
　それらの同数倍と同じ比をもつから、

• (1) ,命題５ー１５ （同数倍の比）
  である。

　ＡがＢに対するように、
　ＧがＨに対するであろう。【・・・(2)】

• 命題５ー１５ （同数倍の比）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｇ：Ｈ
  となっている。

同じ理由で
　ＥがＦに対するように、
　ＭがＮに対する。【・・・(3)】

• (a) ,命題５ー１５ （同数倍の比）
  による。
• 　Ｅ：Ｆ＝Ｍ：Ｎ
  となっている。

そして
　ＡがＢに対するように、ＥがＦに対する。

• 命題の設定 による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ
  となっている。

それゆえ
　ＧがＨに対するように、ＭがＮに対する。【・・・(4)】

• (2) (3) ,命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｇ：Ｈ＝Ｍ：Ｎ
  となっている。

また
　ＢがＣに対するように、ＤがＥに対するから、

• 命題の設定 による。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

　いれかえて
　ＢがＤに対するように、ＣがＥに対する。【・・・(5)】

• 命題５ー１６ （比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　Ｂ：Ｄ＝Ｃ：Ｅ
  となっている。

そして
　Ｈ、ＫはＢ、Ｄの同数倍であり、

• (a) による。
• 　(Ｈ、Ｋ)＝ｐ(Ｂ、Ｄ)
  となっている。

　約量はそれらの同数倍と同じ比をもつから、

• 命題５ー１５ （同数倍の比）
  である。

　ＢがＤに対するように、ＨがＫに対する。【・・・(6)】

• (a) ,命題５ー１５ （同数倍の比）
  による。
• 　Ｂ：Ｄ＝Ｈ：Ｋ
  となっている。

ところが
　ＢがＤに対するように、ＣがＥに対する。

• (5) による。
• 　Ｂ：Ｄ＝Ｃ：Ｅ
  となっている。

ゆえに
　ＨがＫに対するように、ＣがＥに対する。【・・・(7)】

• (6) ,命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｈ：Ｋ＝Ｃ：Ｅ
  となっている。

また
　Ｌ、ＭはＣ、Ｅの同数倍であるから、

• (a) による。
• 　(Ｌ、Ｍ)＝ｑ(Ｃ、Ｅ)
  となっている。

　ＣがＥに対するように、ＬはＭに対する。【・・・(8)】

• 命題５ー１５ （同数倍の比）
  による。
• 　Ｃ：Ｅ＝Ｌ：Ｍ
  となっている。

ところが
　ＣがＥに対するように、ＨがＫに対する。

• (7) ,命題５ー１１の補足 （同じ比は互いに同じ）
  による。
• 　Ｃ：Ｅ＝Ｈ：Ｋ
  となっている。

したがって
　ＨがＫに対するように、ＬがＭに対し、

• (8) ,命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　Ｈ：Ｋ＝Ｌ：Ｍ
  となっている。

　そしていれかえて
　ＨがＬに対するように、ＫがＭに対する。【・・・(9)】

• 命題５ー１６ （比例すれば錯比も比例）
  による。
• 　Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
  となっている。

ＧがＨに対するように、
　ＭがＮに対することも先に証明された。

• (4) である。
• 　Ｇ：Ｈ＝Ｍ：Ｎ
  となっている。

そこで
　３つの量Ｇ、Ｈ、Ｌと
　それらと同じ個数の別の量Ｋ、Ｍ、Ｎとがあり、
　２つずつとられたとき同じ比をなし、
　それらの比例がいれかえられたから、
　等間隔比により
　もし
　ＧがＬより大きければ、
　ＫもＮより大きく、
　等しければ、等しく、
　小さければ、小さい。【・・・(10)】

• (4) (9) ,命題５ー２１ （乱比例の等間隔項の大等小）
  による。
• 　Ｇ(＜、＝、＞)Ｌ
  ならば、
  　Ｋ(＜、＝、＞)Ｎ
  となっている。

そして
　Ｇ、ＫはＡ、Ｄの同数倍であり、
　Ｌ、ＮはＣ、Ｆの同数倍である。

• (a) による。
• 　(Ｇ、Ｋ)＝ｐ(Ａ、Ｄ)、
  　(Ｌ、Ｎ)＝ｑ(Ｃ、Ｆ)
  となっている。

したがって
　ＡがＣに対するように、
　ＤがＦに対する。

• (10) ,定義５ー５ （同じ比）
  による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｆ
  となっている。

よってもし
　３つの量と
　それらと同じ個数の別の量とがあり、
　２つずつとられたとき同じ比をなし、
　それらの比例が《いれかえれる》［乱比例］ならば、
　等間隔比により
　それらは同じ比をなすであろう。
これが証明すべきことであった。
　

• 　本命題は、
  　公理の補足２（定義６ー５） (比の合成・積は可換)の根拠
  となる。
• 　本証明は、
  　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆが同種の量である
  ことを前提としている。
  しかし、
  　本命題は、
  　Ａ、Ｂ、Ｃという量とＤ、Ｅ、Ｆという量が
  　異なる種類の量である
  としても成立する。
  　その証明は、
  　以下の通りである。
  
  • 　量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｅ
    に対して、
    　Ｆ[;;Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ]、
    　Ｄ[;;Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ]
    をとる。
    　(Ｇ、Ｈ、Ｋ)＝ｐ(Ａ、Ｂ、Ｄ)、
    　(Ｌ、Ｍ、Ｎ)＝ｑ(Ｃ、Ｅ、Ｆ)
    をとると、
    　命題５ー１５（同数倍の比）
    により、
    　Ａ：Ｂ＝Ｇ：Ｈ
    　Ｅ：Ｆ＝Ｍ：Ｎ
    となっている。
    　Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ、
    　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
    により、
    　Ｇ：Ｈ＝Ｍ：Ｎ
    となる。
    また、
    　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ、
    　命題５ー４（同じ比の項の同数倍）
    により、
    　Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
    となる。
    　Ｇ：Ｈ＝Ｍ：Ｎ、
    　Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ、
    　命題５ー２１（乱比例の等間隔項の大等小）
    により、
    　Ｇ(＜、＝、＞)Ｌ
    ならば、
    　Ｋ(＜、＝、＞)Ｎ
    となり、
    　定義５ー５（同じ比）
    により、
    　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｆ
    となる。
  • 命題５ー２３のこの証明においては、
    次のようになる。

    前提	作図	推論
    定義		5-5
    公準
    公理
    命題		5-4,5-11,5-15,5-21
    その他		コ2(題5-4)

  
  
• 命題５ー２３は、
  　Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ、
  　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  ならば、
  　Ａ：Ｃ＝Ｄ：Ｆ
  のことである。
• 命題５ー２３は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-5
  公準
  公理
  命題		5-11,5-11補,5-15,5-16,5-21
  その他		コ2(題5-4)

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