ユークリッド原論をどう読むか（９508）
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ユークリッド原論

第５巻

命題５ー８（量の大小と比の大小）
≪任意の≫［ある］
不等な２量のうち、
　大きい量は小さい量より、
　　同一の量に対して大きい比をもち、
　同一の量は
　　小さい量に対して、
　大きい量に対するより
　大きい比をもつ。

• 不等は、定義の補足（公理１ー４） による。
• 量は、定義５ー１の補足 による。
• 大きいは、公理１ー８ による。
• 小さいは、公理１ー８の補足 による。
• 大きい比は、定義５ー７ による。

　


ＡＢ、Ｃを不等な２量とし、
　ＡＢを大きいとし、
　Ｄを別の任意の量とせよ。

• 　量ＡＢ
  に対して、
  　量Ｃ(;＜ＡＢ)、
  　量Ｄ
  をとっている。

ＡＢはＤに対し、
　ＣがＤに対するより
　大きい比をもち、
　ＤはＣに対し、
　ＡＢに対するより
　大きい比をもつと主張する。
　
ＡＢはＣより大きいから、

• 命題の設定による。
• 　ＡＢ＞Ｃ
  となっている。

　ＢＥをＣに等しくせよ。【・・・(a)】

• 推論の設定である。
• 命題１ー３の補足 （作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　点Ｅ(ＡＢ;;ＢＥ＝Ｃ)
  をとっている。

《そうすれば
　ＡＥ、ＥＢのうち小さい量は
　何倍かされると
　いつかＤより大きくなるであろう。【・・・(1)】

• 公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  による。
• 　論証のこのステップは、
  　後のステップにおける
  　量Ｍ＝(ｎ−１)Ｄ
  　が図示されるものとして
  　とれるようにするためのものである。
  しかし、
  　Ｍ＝０で、
  　図示できなくても、
  　今日的には
  　論証が成立することを補足した。
  

　［ＡＥ、ＥＢについて、
　ＡＥ＜ＥＢの場合、
　ＡＥ＞＝ＥＢの場合
がある。］
まず、
［ 　ＡＥ＜ＥＢ の場合、
すなわち、］
　ＡＥがＥＢより小さいとし、》

• 場合分けをしている。
  
• 　ＡＥ＜ＥＢ
  としている。

　ＡＥが何倍かされ、
　ＦＧを
　Ｄより大きい、
　ＡＥの倍量とし、【・・・(b)】

• (1) による。
• 推論の設定である。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　Ｄ＜ｍ(ＡＢーＣ)
  とすれば、
  　ｍＣ＜ｎＤ＜ｍＡＢ
  となるｎがとれる
  という見通しで、
  推論が進んでいく。
• 　ＦＧ(;;＝ｍＡＥ,＞Ｄ)
  をとっている。

　ＦＧがＡＥの何倍
であろうと、
　ＧＨもＥＢの、
　ＫもＣの同じ倍数である
ようにされたとせよ。【・・・(c)】

• 推論の設定である。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　点Ｈ(延長ＦＧ;;ＧＨ＝ｍ(ＥＢ;＝Ｃ))
  　量Ｋ(;;＝ｍＣ)
  をとっている。

そして
　Ｄの２倍［Ｌ］、
　３倍と
　つぎつぎに１つずつ多い倍量がとられ、
　とられたものがＤの倍量で
　しかもはじめて
　Ｋより大きくなるところまでせよ。

• (1) により、
  　(Ｋ;＝ｍ(Ｃ;＝(ＥＢ;＞ＡＥ)))＞(ＦＧ;＞Ｄ)
  となっている。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　量Ｌ(;;＝２Ｄ)、
  　・・・
  をとっている。
  　ｎＤ＞(Ｋ;＝ｍＣ)
  となっている。

かかる量がとられたとし、
　《それをＤの４倍で
　しかも》はじめて
　Ｋより《大きい》［大きくなったものを］Ｎと［し、
　その直前のものをＭと］せよ。【・・・(d)】

　　
• 推論の設定である。
• 準一般的な証明をしている。
  ただし、
  　論証に具体的な数を
  　明示しているのは初出である。
  コメント２（命題５ー１） を参照のこと。
  一般的論証となるよう、［　］に補足している。
• 命題の設定、 (a) (b) (c) (d) 参照のこと
• 　Ｎ(;;＝ｎＤ,＞(Ｋ;＝ｍＣ),(ｎ−１)Ｄ＜＝Ｋ)、
  　Ｍ(;;＝(ｎ−１)Ｄ)
  をとっている。
  　(Ｋ;＝ｍ(Ｃ;＞ＡＥ))＞Ｄ
  となっているので、
  　ｎ＞＝２
  となっている。
  
• 　(Ｋ;＝ｍＣ,＜＝ｍＡＥ)＜Ｄ
  となる場合は、
  　ｎ＝１
  となり、
  　(Ｍ;(ｎ−１)Ｄ) が図示される量として存在しない
  ので、
  　その場合には、
  　以下の推論が
  　妥当でない
  と判断して、
  　この場合分けを行ったのであろう。
  今日的には、
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合、
  　ｎ＝１、
  　Ｍ＝０
  のままで妥当な推論である。
  
• 　Ｎ(;;＝ｎＤ,＞(Ｋ;＝ｍＣ),(ｎ−１)Ｄ＜＝Ｋ)、
  　Ｍ(;;＝(ｎ−１)Ｄ,＜＝(Ｋ;＝ｍＣ))
  をとっている。
  

　
そうすれば
　ＫははじめてＮ[でＤの倍量]より小さいから、
　ＫはＭより小さくない。【・・・(2)】

• (d) による。
• 　(Ｋ;＝ｍＣ)＞＝(Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  で、ｎ＝１となる場合
  　Ｋ＞＝０
  となっている。 　

そして
　ＦＧはＡＥの、
　ＧＨはＥＢの
　同数倍であるから

• (c) による。
• 　ＦＧ＝ｍＡＥ、
  　ＧＨ＝ｍＥＢ
  となっている。

　ＦＧはＡＥの、
　ＦＨはＡＢの
　同数倍である。【・・・(3)】

• 命題５ー１（同数倍の和１）
  による。
• 　ＦＧ＝ｍＡＥ、
  　ＦＨ＝ｍＡＢ
  となっている。

ところが
　ＦＧはＡＥの、
　ＫはＣの
　同数倍である。

• (c) による。
• 　ＦＧ＝ｍＡＥ、
  　Ｋ＝ｍＣ
  となっている。

それゆえ
　ＦＨはＡＢの、
　ＫはＣの
　同数倍である。

• (3) 、公理の補足３（命題５ー１）(１対１対応)
  による。
• 　ＦＨ＝ｍＡＢ、
  　Ｋ＝ｍＣ
  となっている。

ゆえに
　ＦＨ、Ｋは
　ＡＢ、Ｃの同数倍である。【・・・(4)】

• 　(ＦＨ、Ｋ)＝ｍ(ＡＢ、Ｃ)
  となっている。

また
　ＧＨはＥＢの、
　ＫはＣの
　同数倍であり、

• (c) による。
• 　ＧＨ＝ｍＥＢ、
  　Ｋ＝ｍＣ
  となっている。

　ＥＢはＣに等しいから、

• (a) による。
• 　ＥＢ＝Ｃ
  となっている。

　ＧＨもＫに等しい。 【・・・(5)】

• 公理１ー５の補足２（等しいもののｎ倍、ｎ倍に等しいもの）
  による。
• 　ＧＨ＝(Ｋ;＝ｍＣ)
  となっている。

ところが
　ＫはＭより小さくない。

• (2) による。
• 　(Ｋ;＝ｍＣ)＞＝(Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  で、ｎ＝１となる場合
  　Ｋ＞(Ｍ;＝Ｏ)
  となっている。

したがって
　ＧＨもＭより小さくない。 【・・・(6)】

• (5) 、公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　(ＧＨ;＝(Ｋ;＝ｍＣ))＞＝(Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　Ｍ＝０
  として、
  　ＧＨ＞(Ｍ;＝０)
  となっている。

そして
　ＦＧはＤより大きい。

• (b) による。
• 　(ＦＧ;＝ｍＡＥ)＞Ｄ
  となっている。

それゆえ
　ＦＨ全体はＤ、Ｍの和より大きい。【・・・(7)】

• (6) 、公理１ー４の補足３（大きい（小さい）ものどうしを加える）
  による。
• 　(ＦＨ;＝(ＦＧ＋ＧＨ;＝ｍＡＥ＋ｍＣ))
  　＞Ｄ＋(Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　ＦＨ＞((Ｄ＋(Ｍ;＝０));＝Ｄ)
  となっている。

ところが
　Ｄ、Ｍの和はＮに等しい。 【・・・(8)】

• (d) による。
• 　Ｄ＋(Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ)
  　＝(Ｎ;＝ｎＤ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　Ｄ＋(Ｍ;＝０)＝Ｄ
  となっている。

《なぜなら
　ＭはＤの３倍であり、
　Ｍ、Ｄの和はＤの４倍であり、
　ＮもＤの４倍であるから。
ゆえに
　Ｍ、Ｄの和はＮに等しい。》

• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。
• 　原論の証明では、
  　この部分で、
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合、
  ｎ＝１としたときに
  　(Ｍ;(ｎ−１)Ｄ)
  が図示される量として存在しないので
  　妥当性が欠ける
  としたのであろう。
  

ところが
　ＦＨはＭ、Ｄの和より大きい。

• (7) による。
• 　(ＦＨ;＝(ＦＧ＋ＧＨ＝ｍＡＥ＋ｍＣ))
  　＞((Ｄ＋(Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ));＝ｎＤ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　ＦＨ＞((Ｄ＋Ｍ);＝Ｄ)
  となっている。

したがって
　ＦＨはＮより大きい。 【・・・(9)】

• (8) 、公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　(ＦＨ;＝(ＦＧ＋ＧＨ＝ｍＡＥ＋(ｍＣ;＝Ｋ)＝ｍＡＢ))
  　＞(Ｎ;＝ｎＤ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　ＦＨ＞(Ｎ;＝Ｄ)
  となっている。

しかも
　ＫはＮより《大きくない》［小さい］。 【・・・(10)】

• (d) による。
• 　(Ｋ;＝ｍＣ)＜(Ｎ;＝ｎＤ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　Ｋ＜Ｎ
  となっている。

そして
　ＦＨ、ＫはＡＢ、Ｃの［ある］同数倍であり、
　ＮはＤの別の《任意の》［ある］倍量である。

• (4) 、(d) による。
• 《任意の》［ある］については、
  　任意が通常意味する「勝手なある」ではなく、
  　単に「ある」ということで、
  　それは、一定の手続きにしたがって、
  　ＡＢ、Ｃ、Ｄから定まるものである。
  　《任意の》は、記述しないほうがよい。
  （以下、コメント（命題５−８）(≪任意の≫［ある］)という。）
• 　(ＦＨ、Ｋ)＝ｍ(ＡＢ、Ｃ)
  　Ｎ＝ｎＤ
  となっているので、
  　ｍＡＢ＞ｎＤ、
  　ｍＣ＜ｎＤ
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも
  　ｍＡＢ＞Ｄ、
  　ｍＣ＜Ｄ
  となっている。
  　

ゆえに
　ＡＢはＤに対し、
　ＣがＤに対するより大きい比をもつ。

• (9) (10) 、定義５ー７（大きい比）
  による。
• 　ＡＢ：Ｄ＞Ｃ：Ｄ
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　ＡＢ：Ｄ＞Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

次に
　ＤはＣに対し、
　ＤがＡＢに対するより
　　大きい比をもつと主張する。
　
同じ作図がなされたとき、
　同様にして
　ＮはＫより大きく、
　ＮはＦＨより大きくない 【・・・(11)】
　ことを証明しうる。

• 　(Ｎ;＝ｎＤ)
  　　＜(ＦＨ;＝ＦＧ＋ＧＨ＝ｍＡＥ＋ｍＣ＝ｍＡＢ)
  　(Ｎ;＝ｎＤ)
  　　＞(Ｋ;＝ｍＣ)
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　Ｎ＜ＦＨ、
  　Ｎ＞Ｋ
  となっている。

そして
　ＮはＤの倍量であり、 【・・・(12)】

• (d) による。
• 　Ｎ＝ｎＤ
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  で、ｎ＝１となる場合
  　Ｎ＝Ｄ
  となっている。　

　ＦＨ、Ｋは
　ＡＢ、Ｃの別の《任意の》同数倍である。

• (4) による。
• 　(ＦＨ、Ｋ)＝ｍ(ＡＢ、Ｃ) となっている。

したがって
　ＤはＣに対し、
　ＤがＡＢに対するより
　　大きい比をもつ。

• (11) (12) 、定義５ー７（大きい比）
  による。
• 　Ｎ＝ｎＤ
  　(ＦＨ、Ｋ)＝ｍ(ＡＢ、Ｃ)
  となっているので、
  　ｎＤ＞ｍＣ、
  　ｎＤ＜ｍＡＢ
  となっており、
  　Ｄ：Ｃ＞Ｄ：ＡＢ
  となっている。
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときも、
  　Ｄ＞ｍＣ、
  　Ｄ＜ｍＡＢ
  となっており、
  　Ｄ：Ｃ＞Ｄ：ＡＢ
  となっている。

　


《次に
　［ＡＥ＞＝ＥＢ の場合、
すなわち、］
　ＡＥがＥＢより《大きい》［小さくない］とせよ。 【・・・(e)】

• もう１つの場合を論じている。
  
• 最初の場合において、
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜Ｄ
  となる場合で、
  ｎ＝１のときの推論に
  　妥当性を認める
  とすれば、
  　場合分けは不要で、
  　以下の推論も不要
  となる。

《小さい》［大きくない］ＥＢは
　何倍かされると
　いつかＤより大きくなるであろう。

• 公準１ー２の補足（アルキメデスの原理）
  による。
• 　ｍＥＢ＞Ｄ
  となっている。

何倍かされ、
　ＧＨをＤより大きい、
　　ＥＢの倍量とせよ。【・・・(f)】

• 推論の設定である。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　ＧＨ(;;＝ｍＥＢ,＞Ｄ)
  をとっている。

そして
　ＧＨがＥＢの何倍であろうと、
　ＦＧはＡＥの、
　ＫはＣの
　同じ倍数であるとせよ。【・・・(g)】

• 推論の設定である。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　(ＧＨ;＝ｍＥＢ)＞Ｄ
  となるｍに対して、
  　ＦＧ(;;＝ｍＡＥ)、
  　Ｋ(;;＝ｍＣ)
  をとっている。

同様にして
　ＦＨ、ＫはＡＢ、Ｃの同数倍である
　ことを証明しうる。

• (a) ,(g) により、
  　ＧＨがＫに等しいこともしたがう。【・・・(13)】
• 　ＦＨ＝ｍＡＢ、
  　Ｋ＝ｍＣ、
  　ＧＨ＝(Ｋ;＝ｍＣ)
  となっている。

そして同様にして
　Ｄの倍量であり
　しかもはじめて
　ＦＧより大きいＮがとられたとせよ。【・・・(h)】

• 推論の設定である。
• 量の倍は、命題の補足（定義５ー２）（作図.倍量）
  による。
• 　Ｎ(;;＝ｎＤ,＞(ＦＧ;＞＝(ｎ−１)Ｄ)
  をとっている。
  　(ＦＧ;＝ｍ(ＡＥ;＞＝ＥＢ))＞＝(ＧＨ;＝ｍＥＢ,＞Ｄ)
  となっているので、
  　ｎ＞＝２
  となり、
  　(Ｍ;(ｎ−１)Ｄ)
  が図示される量として存在する。

そうすれば
　ＦＧは
　また
　Ｍより小さくない。 【・・・(14)】

• (h) による。
• 　ＦＧ＞＝(Ｍ;(ｎ−１)Ｄ)
  となっている。

しかも
　ＧＨはＤより大きい。

• (f) による。
• 　(ＧＨ;＝(Ｋ;＝ｍＣ))＞Ｄ
  となっている。

ゆえに
　ＦＨ全体は
　Ｄ、Ｍの和、
　すなわち
　Ｎより大きい。 【・・・(15)】

• (14) 、(h) 、公理１ー４の補足３（大きい（小さい）ものどうしを加える）
  による。
• 　(ＦＨ;＝ＦＧ＋ＧＨ＝ｍＡＥ＋ｍＥＢ＝ｍＡＢ)
  　＞(((Ｍ;＝(ｎ−１)Ｄ)＋Ｄ);＝(Ｎ;＝ｎＤ))
  となっている。

そして
　ＧＨより、
　すなわち
　Ｋより《大きい》［小さくない］ＦＧが
　Ｎより《大きくない》［小さい］から、
　ＫはＮより《大きくない》［小さい］。 【・・・(16)】

• (13) (g) (e) (h) 公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　(ＧＨ;＝(Ｋ;＝ｍＣ))＜＝ＦＧ＜(Ｎ;＝ｎＤ)
  すなわち、
  　(Ｋ;＝ｍＣ)＜(Ｎ;＝ｎＤ)
  となっている。

そして同様にして
　上述するところにしたがって
　証明を完結する。》

• ＦＨ、ＫはＡＢ、Ｃの同数倍である。
• (15) (16) より、
  　ｍＡＢ＞ｎＤ、
  　ｍＣ＜ｎＤ
  となっているので、
  　定義５ー７（大きい比）
  により、
  　ＡＢ：Ｄ＞Ｃ：Ｄ
  　Ｄ：Ｃ＞Ｄ：ＡＢ
  となっている。

よって
［以上の２つの場合から、］
　
　不等な２量のうち、
　大きい量は小さい量より、
　同一の量に対して大きい比をもち、
　同一の量は
　小さい量に対して、
　大きい量に対するより大きい比をもつ。
　
これが証明すべきことであった。

• 命題５ー８は、
  　Ａ＞Ｂ
  ならば
  　Ａ：Ｃ＞Ｂ：Ｃ、
  　Ｃ：Ｂ＞Ｃ：Ａ
  のことである。
• 命題５ー８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-7
  公準		1-2補
  公理		1-4補3,1-5補2,1-8補2,補3(題5-1)
  命題	1-3補,補(義5-2)	5-1
  その他		コ2(題5-1),コ2(題1-16)inas(,場合分け)

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