ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー１５（等積で１角の等しい三角形と逆比例）
等しくかつ１つの角を互いに等しくする
　２つの三角形の
　等しい角をはさむ辺は
　逆比例する。
そして
　１つの角を互いに等しくし、
　≪等角≫［等しい角］をはさむ辺が逆比例する
　２つの三角形は
　等しい。

• 等しいは、 公理１ー７ による。
  ここでは面積が等しいことである。
• 角は、 定義１ー８ による。
• 三角形は、 定義１ー１９の補足２ による。
• 辺は、 定義１ー１９の補足 による。
• 逆比例は、 定義６ー２ による。

ＡＢＣ、ＡＤＥを
　等しくてかつ１角が１角に、
　すなわち
　角ＢＡＣが角ＤＡＥに等しい
　三角形とせよ。

• 　△ＡＢＣ
  に対して
  　等しい三角形を作図することは、
  　本命題の立場においては仮想的である。
  　本命題の後半において、
  　実際的となる。
  
• 命題６−１４の補足（作図.直線図形の頂点共有と辺の１直線）
  による。
• 　△ＡＢＣ
  に対して
  　△ＡＤＥ[;;∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ,△ＡＤＥ＝△ＡＢＣ]
  をとっている。

三角形ＡＢＣ、ＡＤＥの
　等しい角をはさむ辺は
　逆比例する、
　すなわち
　ＣＡがＡＤに対するように、
　ＥＡがＡＢに対する
　と主張する。

ＣＡがＡＤと１直線をなすように
　おかれたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題６−１４の補足（作図.直線図形の頂点共有と辺の１直線）
  による。
  さらに、
  　直線ＣＡＤについて、
  　ＢがＥと反対側になるように、
  　必要があれば、
  　三角形ＡＤＥを裏返す。
• 　Ｄ;上.延長ＣＡ
  　Ｅ;反対側(ＡＣ,Ｂ)
  となっている。

そうすれば
　ＥＡもＡＢと１直線をなす。

• (a) 、 命題１ー１３（直線と２直角１）
  により、
  　角 ＢＡＣとＢＡＤの和は２直角である。
  命題の設定 、 公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　角ＤＡＥとＢＡＤの和は２直角である。
  よって、
  命題１ー１４（直線と２直角２）
  により、
  　ＥＡはＡＢと１直線をなす。
• 　Ｅ;上.延長ＢＡ
  となっている。

そして、
　ＢＤが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＢＤ
  をとっている。

そうすれば
　三角形ＡＢＣは
　三角形ＡＤＥに等しく、

• 命題の設定 による。
• 　△ＡＢＣ＝△ＡＤＥ
  となっている。

　ＢＡＤは別の三角形であるから、
　三角形ＣＡＢが三角形ＢＡＤに対するように、
　三角形ＥＡＤが三角形ＢＡＤに対する。

• 命題５ー７（同一量の比）
  による。
• 　△ＣＡＢ：△ＢＡＤ＝△ＥＡＤ：△ＢＡＤ
  となっている。

ところが、
　三角形ＣＡＢが三角形ＢＡＤに対するように、
　ＣＡがＡＤに対し、
　ＥＡＤがＢＡＤに対するように、
　ＥＡがＡＢに対する。

• 命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　△ＣＡＢ：△ＢＡＤ＝ＣＡ：ＡＤ、
  　△ＥＡＤ：△ＢＡＤ＝ＥＡ：ＡＢ
  となっている。

それゆえ
　ＣＡがＡＤに対するように、
　ＥＡがＡＢに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＣＡ：ＡＤ＝ＥＡ：ＡＢ
  となっている。

ゆえに
　三角形ＡＢＣ、ＡＤＥの
　等しい角をはさむ辺は
　逆比例する。

• 定義６ー２（逆比例）
  による。
• 　(ＣＡ,ＡＢ)(反比例)(ＥＡ,ＡＤ)
  となっている。

次に
　 三角形ＡＢＣ、ＡＤＥの
　［角ＢＡＣが角ＤＡＥに等しく］
　辺が逆比例するとし、
　ＣＡがＡＤに対するように、
　ＥＡがＡＢに対するとせよ。

• 命題６−１４の補足（作図.直線図形の頂点共有と辺の１直線）
  による。
  さらに、
  　直線ＣＡＤについて、
  　ＢがＥと反対側になるように、
  　必要があれば、
  　三角形ＡＤＥを裏返す。
• 　△ＡＢＣ、ＡＤ'
  に対して、
  　Ｄ(延長ＣＡ;;ＡＤ＝ＡＤ')、
  　Ｅ(延長ＢＡ;;(ＣＡ,ＡＢ)(反比例)(ＥＡ,ＡＤ)
  　　,反対側(ＡＤ,Ｂ))、
  　△ＡＤＥ
  をとれば、
  　∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ
  となっている。

三角形ＡＢＣは
　三角形ＡＤＥに等しい
　と主張する。

ふたたび
　ＢＤが結ばれ、

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＢＤ
  をとっている。

　ＣＡがＡＤに対するように、
　ＥＡがＡＢに対し、

• 命題の設定 による。
• 　ＣＡ：ＡＤ＝ＥＡ：ＡＢ
  となっている。

　他方
　ＣＡがＡＤに対するように、
　三角形ＡＢＣが三角形ＢＡＤに対し、
　ＥＡがＡＢに対するように、
　三角形ＥＡＤが三角形ＢＡＤに対するから、

• 命題６ー１（同高の三角形、平行四辺形は底辺と比例）
  による。
• 　ＣＡ：ＡＤ＝△ＡＢＣ：△ＢＡＤ、
  　ＥＡ：ＡＢ＝△ＥＡＤ：△ＢＡＤ
  となっている。

　三角形ＡＢＣが三角形ＢＡＤに対するように、
　三角形ＥＡＤが三角形ＢＡＤに対する。

• 命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
• 　△ＡＢＣ＝△ＢＡＤ＝△ＥＡＤ：△ＢＡＤ
  となっている。

それゆえ
　ＡＢＣ、ＥＡＤの双方は
　ＢＡＤに対し同じ比をもつ。
ゆえに
　三角形ＡＢＣは三角形ＥＡＤに等しい。

• 命題５ー９（同一比の量）
  による。
• 　△ＡＢＣ＝△ＥＡＤ
  となっている。

よって
　等しくかつ１つの角を互いに等しくする
　２つの三角形の
　等しい角をはさむ辺は
　逆比例する。
そして
　１つの角を互いに等しくし、
　等角をはさむ辺が逆比例する
　２つの三角形は等しい。
これが証明すべきことであった。

• 命題６ー１４（等積で等角な平行四辺形と逆比例）
  を用いて、
  　平行四辺形を対角線で半分にすることで
  　証明することもできる。
• 命題６ー１５は、
  　△ＡＢＣ
  に対して
  　△ＡＤＥ[;;∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ,△ＡＤＥ＝△ＡＢＣ]
  をとれば、
  　(ＢＡ,ＡＣ)(反比例)(ＤＡ,ＡＥ)
  となり、
  　△ＡＢＣ
  に対して、
  　△ＡＤＥ[;;∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ
  　　,(ＣＡ,ＡＢ)(反比例)(ＥＡ,ＡＤ)]
  をとれば、
  　△ＡＢＣ＝△ＡＤＥ
  のことである。
  
• 命題６ー１５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		6-2
  公準	1-1
  公理		1-1
  命題	6-14補	1-13,1-14,5-7,5-9,5-11,6-1
  その他

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