ユークリッド原論をどう読むか(9510)
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ユークリッド原論
第5巻
命題5ー10
(比の大小と量の大小)
同一の
量
に対して
比
をもついくつかの
量
のうち、
大きい比
をもつ
量
は
大きい
。
そして
同一の
量
が
それに対して
大きい比
をもつ
量
は
小さい
。
量は、
定義5ー1の補足
による。
比は、
定義5ー3
による。
大きい比は、
定義5ー7
による。
大きいは、
公理1ー8
による。
小さいは、
公理1ー8の補足
による。
AがCに対し、
BがCに対するより
大きい比
をもつとせよ。
A:C>B:C
となっている。
Aは
Bより
大きい
と主張する。
同じ比をもつ線分の作図(仮想的)は、
コメント2(命題5ー4)
参照のこと。
もし
大きく
なければ、
背理法の仮定を述べようとしている。
AはBに
等しい
か、
小さい
かである。
公理1ー7の補足
(線分・角は大か等か小)
による。
A=B
または
A<B
としている。
さて
AはBに
等しく
はない。
なぜなら[もし]
等しけ
れば
「なぜならもし」については、
コメント(命題1ー4)
を参照のこと。
第2段階の背理法の仮定を述べようとしている。
A=B
としている。
A、Bの双方は
Cに対して
同じ比
をもったであろう。
命題5ー7
(同一量の比)
による。
A:C=B:C
となっている。
ところが
もっていない。
命題の設定
による。
A:C>B:C
となっている。
それゆえ
AはBに
等しく
ない。
【・・・(1)】
背理法による。
A≠B
となっている。
Aは
また
Bよりも
小さく
はない。
なぜなら[もし]
小さけ
れば
「なぜならもし」については、
コメント(命題1ー4)
を参照のこと。
第2段階の背理法の仮定を述べようとしている。
A<B
としている。
AはCに対し、
BがCに対するより
小さい比
をもったであろう。
命題5ー8
(量の大小と比の大小)
による。
A:C<B:C
となっている。
ところがもっていない。
命題の設定
による。
A:C>B:C
となっている。
ゆえに
AはBより
小さく
はない。
背理法による。
A¬<B
となっている。
等しく
ないことも
先に証明された。
(1)
による。
A≠B
となっている。
したがって
AはBより
大きい
。
A>B
となっている。
また
CがBに対し、
CがAに対するより
大きい比
をもつとせよ。
C:B>C:A
をとっている。
BがAより
小さい
と主張する。
もし
小さく
ないならば、
背理法の仮定を述べようとしている。
等しい
か、
大きい
かである。
公理1ー7の補足
(線分・角は大か等か小)
による。
A=B
または
A<B
となっている。
そこで
Bは
Aに
等しく
はない。
なぜなら[もし]
等しけ
れば
「なぜならもし」については、
コメント(命題1ー4)
を参照のこと。
第2段階の背理法の仮定を述べようとしている。
A=B
としている。
Cは
A、Bの双方に対して
同じ比
をもったであろう。
命題5ー7
(同一量の比)
による。
C:A=C:B
となるはずである。
ところが
もっていない。
命題の設定
による。
C:B>C:A
となっている。
それゆえ
AはBに
等しく
ない。
【・・・(2)】
背理法による。
A≠B
となる。
また
Bは
Aより
大きく
もない。
なぜなら[もし]
大きけ
れば
「なぜならもし」については、
コメント(命題1ー4)
を参照のこと。
第2段階の背理法の仮定を述べようとしている。
B¬>A
としている。
CはBに対し、
CがAに対するより
小さい比
をもったであろう。
命題5ー8
(量の大小と比の大小)
による。
C:B<C:A
となるはずである。
ところが
もっていない。
命題の設定
による。
C:B>C:A
となっている。
ゆえに
BはAより
大きく
ない。
背理法による。
B¬>A
となっている。
等しく
ないことも
先に証明された。
(2)
による。
B≠A
となっている。
したがって
Bは
Aより
小さい
。
B<A
となっている。
よって
同一の
量
に対して
比
をもついくつかの
量
のうち、
大きい比
をもつ
量
は
大きい
。
そして
同一の
量
が
それに対して
大きい比
をもつ
量
は
小さい
。
これが証明すべきことであった。
命題5ー10
は、
A:C>B:C
ならば
A>B、
C:A>C:B
ならば
A<B
のことである。
命題5ー10
は推論の用命題である。
前提
作図
推論
定義
公準
公理
1-7補
命題
5-7
,
5-8
その他
2段階の背理法,
コ(題1-4)fitc
,
コ2(題5-4)
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