ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー９（作図.線分のｎ分の１）
（作図.ｎ分の１の点） 内分
（作図.内分点）

与えられた線分から
　指定された≪部分≫［約量］を
　切り取ること。

• 線分は、定義の補足（命題１ー１） による。
• 約量は、定義５ー１ による。

　

与えられた線分を
　ＡＢとせよ。

• 　ＡＢ
  をとっている。

このとき
　ＡＢから指定された≪部分≫［約量］を
　切り取らねばならぬ。

《３》［任意個数ｎ］分の１が
　指定されたとせよ。

• 定義５ー１（約量）
  により、約量はｎ分の１のことである。
• 準一般的な証明である。
  コメント２（命題５ー１）
  を参照のこと。

　 Ａから
　ＡＢと任意の角をなす
　線分ＡＣが
　ひかれたとせよ。

• 公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により、
  　直線ＡＢ上ではないところに
  　点Ｃをとる。
  公準１ー１（作図.直線）
  により、ＡとＣとを結ぶ。
• 　ＡＣ[;;Ｃ;外.ＡＢ]
  をとっている。

　 ＡＣ上に
　任意の点Ｄがとられ、

• 公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  による。
• 　Ｄ[ＡＣ]
  をとっている。

　 ＤＥ、[ＥiＥ'i、]ＥＣが
　ＡＤに等しくなるようにせよ。
【・・・(a)】

• 準一般的な証明の一般化の方法は、
  　コメント５（命題５ー１）
  　参照のこと。
• 命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により
  　ＥiＥ'i＝ＡＤ
  を順にとる。
  このＥ'nを
  　改めてＣとし、
  　溯ってＣを用いている。
• 　Ｅ'i(ＡＣ;;Ｅ1＝Ａ,ＥiＥ'i＝ＡＤ,Ｅ'i＝Ｅi+1)
  　Ｅ'n＞＞Ｃ
  をとっている。

　 そして
　ＢＣが結ばれ、

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＢＣ
  をとっている。

　Ｄを通り、
　ＢＣに平行に
　ＤＦがひかれたとせよ。 【・・・(b)】

• 命題１ー３１（作図・平行線）
  により
  　直線ＤＦがひかれる。
  命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＤＦとＡＢが交わる。
  その交点をＦ’とすると、
  　Ａは
  　ＤＦについて
  　ＢＣと反対側にあるので、
  　命題の補足３（定義１ー１４）（図形と直線の交点）
  により、
  　Ｆ’は
  　ＡＢ上にある。
  Ｆ’を改めてＦとし、
  　溯ってＦを用いている。
• 　交点Ｆ(ＡＣ,平行線(Ｄ,ＢＣ))
  をとっている。

そうすれば
　ＦＤは
　三角形ＡＢＣの１辺ＢＣに
　平行にひかれたから、

• (b) による。
• 　ＦＤ‖ＢＣ
  となっている。

　比例し、
　ＣＤがＡＤに対するように、
　ＢＦがＦＡに対する。

• 命題６ー２（三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  による。
• 　ＣＤ：ＡＤ＝ＢＦ：ＦＡ
  となっている。

　 ところが
　ＣＤはＤＡの《２》［ｎ−１］倍である。

• (a) による。
• 　ＣＤ＝(ｎ−１)ＤＡ
  となっている。

　 それゆえ
　ＢＦもＦＡの《２》［ｎ−１］倍である。

• 定義５ー５（同じ比）
  による。
• 　ＢＦ＝(ｎ−１)ＦＡ
  となっている。

　 ゆえに
　ＢＡは
　ＡＦの《３》［ｎ］倍である。

• 定義の補足（公理１ー５） による。
• 　ＢＡ＝ｎＦＡ
  となっている。

　 よって
　与えられた線分ＡＢから
　指定された《３》［ｎ］分の１の≪部分≫［約量］ＡＦが
　切り取られた。
これが作図すべきものであった。

• この命題は、
  　「端からその点までが
  　線分のｎ分の１に等しくなるようにできる」
  （以下、命題６ー９の補足 （作図.ｎ分の１の点）という。）
  とみることができる。
• 　 　線分をｍ＋ｎ個に等分し、
  　一方からｍ個分、
  　他方からｎ個分となる点をとる
  ことを、
  　線分をｍ：ｎに内分する
  という。
  （以下、定義の補足２（命題６ー９） （内分）という。）
  
• 「線分を
  　ｍ：ｎに内分する点をとる
  ことができる。」
  （以下、命題６ー９の補足３ (作図.内分点)という。）
  　命題６ー９（作図.線分のｎ分の１）
  により、
  　線分のｍ＋ｎ分の１をつくる。
  　命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  により、
  　線分の一端からｍ＋ｎ分の１の点を順次とる。
  　ｎ回目となる点が
  　ｍ：ｎの内分点
  となる。
• 命題６ー９は、
  　ＡＢ
  に対して、
  　ＡＣ'[;;Ｃ';外.ＡＢ]、
  　Ｄ[ＡＣ']、
  　Ｃ(ＡＣ';;ＡＣ＝ｎＡＤ)、
  　交点Ｆ(ＡＣ,平行線(Ｄ,ＢＣ))
  をとれば、
  　ＦＡ＝ＡＢ／ｎ
  のことである。
  
• 命題６ー９の補足 （作図.ｎ分の１の点）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	6-9
  その他

• 命題６ー９の補足３ (作図.内分点)

  前提	作図	推論
  定義		補2(題6-9)
  公準
  公理
  命題		1-3補,6-9
  その他

• 命題６ー９は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-1,5-5,補(理1-5)
  公準	1-1,1-1補
  公理
  命題	1-3補 ,1-30補,1-31,補3(義1-14)	6-2
  その他		コ2(題5-1),コ5(題5-1)

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