ユークリッド原論をどう読むか（９505）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー５（同数倍の差１）
仮想的な推論の設定
(量の位置の任意性)
もし
ある量がある量の、
引き去られる部分が引き去られる部分の、
同数倍であるならば、
残りの部分は残りの部分の、
全体は全体の同数倍であろう。
- 量は、定義５ー１の補足
による。
- 同数倍は、定義５ー５の補足
による。
- 全体は全体の同数倍という意味は、
前者の全体が
後者の全体に対する
倍数と
同じ倍数倍である
ということ
量ＡＢが量ＣＤの、
引き去られる部分ＡＥが引き去られる部分ＣＦの
同数倍であるとせよ。
残りのＥＢが残りのＦＤの、
全体ＡＢが全体ＣＤの
同数倍であろうと主張する。
ＡＥがＣＦの何倍であろうと、
ＥＢがＣＧの同じ倍数であるとせよ。
【・・・(a)】
-
ＥＢがＣＧの同じ倍数である
と仮定しただけで、
ＥＢの約量である
ＣＧを表す線分が
作図できる
（操作としてその量を取ることができる）
ことを
前提としているのではない。
仮想的な推論の設定である。
以下、コメント（命題５ー５）(線分のｎ等分の作図（仮想的）)という。
-
ＡＥ＝ｍＣＦ、
ＥＢ＝ｍＣＧ
としている。
そうすれば
ＡＥはＣＦの、
ＥＢはＧＣの同数倍であるから、
- (a)による。
-
ＡＥ＝ｍＣＦ、
ＥＢ＝ｍＣＧ
となっている。
ＡＥはＣＦの、
ＡＢはＧＦの
同数倍である。【・・・(1)】
- 図、命題５ー１（同数倍の和１）
による。
-
ＡＥ＝ｍＣＦ、
ＡＢ＝ｍＧＦ
となっている。
ところが
ＡＥはＣＦの、
ＡＢはＣＤの
同数倍であるとされている。
- 命題の設定
による。
-
ＡＥ＝ｍＣＦ、
ＡＢ＝ｍＣＤ
となっている。
それゆえ
ＡＢはＧＦ、ＣＤの双方の同数倍である。
- (1)
による。
-
ＡＢ＝ｍＧＦ、
ＡＢ＝ｍＣＤ
となっている。
ゆえに
ＧＦはＣＤに等しい。
【・・・(2)】
双方から
ＣＦがひかれたとせよ。
そうすれば
残りのＧＣは残りのＦＤに等しい。【・・・(3)】
- 公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
による。
- (a)
の推論の設定としてとった
ＧＣが
命題の中に根拠をもつ
ＦＤに
等しい量である
ことが論証された。
-
ＧＣ＝ＦＤ
となっている。
そして
ＡＥはＣＦの、
ＥＢはＧＣの
同数倍であり、
ＧＣはＤＦに等しいから、
ＡＥはＣＦの、
ＥＢはＦＤの同数倍である。
【・・・(4)】
- 公理１ー５の補足２（等しいもののｎ倍、ｎ倍に等しいもの）
による。
-
ＡＥ＝ｍＣＦ、
ＥＢ＝ｍＦＤ
となっている。
ところが
ＡＥはＣＦの、
ＡＢはＣＤの
同数倍であると仮定されている。
- 命題の設定
による。
-
ＡＥ＝ｍＣＦ、
ＡＢ＝ｍＣＤ
となっている。
それゆえ
ＥＢはＦＤの、
ＡＢはＣＤの
同数倍である。
ゆえに
残りのＥＢは残りのＦＤの、
全体ＡＢは全体ＣＤの
同数倍であろう。
よってもし
ある量がある量の、
引き去られる部分が引き去られる部分の、
同数倍であるならば、
残りの部分は残りの部分の、
全体は全体の同数倍であろう。
これが証明すべきことであった。
-
引き去る量や加える量が任意の位置にあっても、
命題の補足（定義５ー１４）（作図.量の和）、
命題の補足（定義５ー１５）（作図.量の差）
により、
引き去られる量や加えられる量の
一端にとることができる
ので、
引き去る量や加える量が、
任意の位置にある場合
においても
引き去られる量や加えられる量の
一端にあるのと同様に成立する。
(以下、公理の補足２(命題５ー５)
(量の位置の任意性)という。
-
- 命題５ー５は、
ｍＣＤ−ｍＣＦ＝ｍ（ＣＤーＣＦ）のことである。
- 命題５ー５は推論用命題である。
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