ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー３６（完全数）
（同じ比の２つの順次比例の各項は一方の初項と他方の末項の積の約数）
もし
　単位から始まり
　順次に１対２の比をなす
　任意個の数が定められ、
　それらの総和が素数になるようにされ、
　そして
　全体が
　最後の数にかけられて
　ある数をつくる
ならば、
　その積は完全数であろう。

• 単位は、
  定義７ー１による。
• 対は、
  定義の補足（命題８ー２）による。
• 比は、
  定義５ー３による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 素数は、
  定義７ー１２による。
• かけるは、
  定義７ー１６による。
• 積は、
  定義７ー１６の補足２による。
• 完全数は、
  定義７ー２３による。

　単位から始まり
　１対２の比をなす
　任意個の数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが定められ、
　それらの総和が
　素数になるようにし、
　そして
　Ｅを全体に等しくし、
　ＥがＤにかけて
　ＦＧをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　準一般的な証明である。
  　コメント２（命題５ー１）
  　参照のこと。
  
• 　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ＝順次に１：２
  　１＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝素数＝Ｅ
  　Ｅ×Ｄ＝ＦＧ
  となっている。
  

　ＦＧは完全数であると主張する。

　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの個数がいくつ
であろうと、
　同じ個数の、
　Ｅから始まり
　１対２の比をなす
　Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ＝順次に１：２
  　Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍ＝順次に１：２
  となっている。

　等間隔比により
　ＡがＤに対するように、
　ＥがＭに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１４（数の等間隔比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｄ＝Ｅ：Ｍ
  となっている。
  

それゆえ
　Ｅ、Ｄの積はＡ、Ｍの積に等しい。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ｅ×Ｄ＝Ａ×Ｍ
  となっている。
  

そして
　Ｅ、Ｄの積はＦＧである。

• 　命題の設定による。

ゆえに
　Ａ、Ｍの積もＦＧである。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  

したがって
　ＡはＭにかけてＦＧをつくった。

• 　前節による。
• 　Ａ×Ｍ＝ＦＧ
  となっている。

それゆえ
　ＭがＦＧを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　ＦＧ／Ｍ＝Ａ
  となっている。

そして
　Ａは２である。

• 　命題の設定による。
• 　Ａ＝２
  となっている。

ゆえに
　ＦＧはＭの２倍である。

• 　ＦＧ＝２×Ｍ
  となっている。
  したがって、
  　Ｍ：ＦＧ＝１：２
  となる。
  

ところが
　Ｍ、Ｌ、ＨＫ、Ｅも
　順次に互いの２倍である。

• 　命題の設定による。

したがって
　Ｅ、ＨＫ　Ｌ、Ｍ、ＦＧは
　順次に１対２の比をなして比例する 　　　　　　[......(１)]

• 　前節、前々節
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。

そこで
　第２項ＨＫと末項ＦＧから
　初項に等しいＨＮ、ＦＯが
　それぞれ引き去られた
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　ＨＫーＨＮ＝ＨＫーＥ＝ＮＫ
  　ＦＧーＦＯ＝ＦＧーＥ＝ＯＧ
  となっている。
  

そうすれば
　第２項と初項との差が
　初項に対するように、
　末項と初項との差が
　末項の前のすべての項の和に対する。

• 　前々節、
  　命題９ー３５（順次比例の２項ー初項：末項ー初項）
  による。
  

ゆえに
　ＮＫがＥに対するように、
　ＯＧがＭ、Ｌ、ＫＨ、Ｅの和に対する。

• 　前節による。
• 　ＮＫ：Ｅ＝ＯＧ：Ｍ＋Ｌ＋ＫＨ＋Ｅ
  となっている。
  

そして
　ＮＫはＥに等しい。

• 　（ａ）、 （ｂ）による。
  
• 　ＨＫ＝２×Ｅ、
  　ＮＫ＝ＨＫーＨＮ＝ＨＫーＥ
  　　　＝Ｅ
  となっている。
  

したがって
　ＯＧはＭ、Ｌ、ＨＫ、Ｅの和に等しい。

• 　前節、前々節、
  　定義７−２１（比例）
  による。
• 　ＯＧ＝Ｍ＋Ｌ＋ＨＫ＋Ｅ
  となっている。

ところが
　ＦＯはＥに、
　ＥはＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄと単位との和に等しい。

• 　（ｂ）、 命題の設定による。
• 　公理１ー１（同じものに等しい）
  により
  　ＦＯ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋１
  となっている。
  

それゆえ
　全体ＦＧは
　Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍと
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄと単位との和に等しい。
　　　　　　[......(２)]

• 　（ｂ）、
  　公理１ー８の補足５（全体、ひく部分、残る部分）
  により、
  　ＦＧ＝ＯＧ＋ＦＯ
  となっており、
  　前節、前々節、
  　公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　ＦＧ＝Ｅ＋ＨＫ＋Ｌ＋Ｍ
  　＋１＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ
  となっている。

そして
　それらに割り切られる。

• 　命題の設定、 （ａ）、 （１）、 により、
  　１、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ
  と
  　Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍ、ＦＧ
  は、
  　順次に１対２に比例している
  から、
  　命題９ー３６の補足により、
  　Ｅ×Ｄ＝ＦＧ
  は、
  　２つの数列の各項に割り切られる。
  
• 　Ｅ｜ＦＧ、ＨＫ｜ＦＧ、Ｌ｜ＦＧ、Ｍ｜ＦＧ、
  　Ａ｜ＦＧ、　Ｂ｜ＦＧ、Ｃ｜ＦＧ、Ｄ｜ＦＧ、
  となっている。
• 　ともに同じ比で順次に比例する
  　Ａ1、Ａ2、・・・、Ａm
  と
  　Ｂ1、Ｂ2、・・・、Ｂm
  があるとき、
  　Ａm-n、Ａm-n+1、・・・、Ａm
  と
  　Ｂ1、Ｂ2、・・・、Ｂ1+n
  はともに
  　同じ比で順次に比例する
  から、
  　命題７ー１４（数の等間隔比）
  により、
  　Ａm-n：Ａm＝Ｂ1：Ｂ1+n
  となるので
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  により
  　Ａm×Ｂ1＝Ａm-n×Ｂ1+n
  となる。
  したがって、
  　同じ比の２つの順次に比例する数列の各項は、
  　一方の初項と他方の末項の積の約数である。
  
  (以下、命題９ー３６の補足 （同じ比の２つの順次比例の各項は一方の初項と他方の末項の積の約数）という。)
  

　ＦＧは
　また
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、ＨＫ Ｌ、Ｍと
　単位以外の他のいかなる数にも
　割り切られないであろう
と主張する。

もし可能ならば、

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　何らかの数ＰがＦＧを割り切るとし、
　そして
　Ｐが
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍの
　いずれとも同じでない
とせよ。

• 　背理法の仮定である。
• 　Ｐ｜ＦＧ、
  　Ｐnot＝Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍ
  となっている。
  

そして
　ＰがＦＧを割った商に等しい個数の単位が
　Ｑのなかにある
とせよ。

• 　ＦＧ／Ｐ＝Ｑ
  となっている。

そうすれば
　ＱはＰにかけてＦＧをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ｑ×Ｐ＝ＦＧ
  となっている。

ところが
　ＥもＤにかけてＦＧをつくった。

• 　命題の設定による。
• 　Ｅ×Ｄ＝ＦＧ
  となっている。

ゆえに
　ＥがＱに対するように、
　ＰがＤに対する。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ｅ：Ｑ＝Ｐ：Ｄ
  となっている。

そして
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは
　単位から始まり順次に比例する
から、

• 　命題の設定による。

　ＤはＡ、Ｂ、Ｃ以外の
　他のいかなる数にも割り切られない
であろう。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　命題９ー１３（素数の累乗はその累乗だけが割り切る）
  による。
  

そして
　ＰはＡ、Ｂ、Ｃのいずれとも同じでない
と仮定されている。

• 　背理法の仮定による。

したがって
　ＰはＤを割り切らない
であろう。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｐnot｜Ｄ
  となっている。

ところが
　ＰがＤに対するように、
　ＥがＱに対する。

• 　（３）による。

それゆえ
　ＥはＱを割り切らない。

• 　背理法の仮定として、
  　ＥがＱを割り切る
  とすると、
  　定義７−２１（比例）
  により、
  　ＰがＤを割り切る
  ことになるが、
  　前々節により
  　これはありえない
  ので
  　矛盾する。
  よって、
  　背理法による。
  
• Ｅnot｜Ｑ
  となっている。

そして
　Ｅは素数である。

• 　命題の設定による。

ところが
　すべての素数は
　それが割り切らない
　すべての数に対して素である。

• 　命題７ー２９（素数は倍数以外に対して素）
  のことである。
  

ゆえに
　Ｅ、Ｑは互いに素である。

• 　前節、前々節、前々々節による。

ところが
　［互いに］素である数は最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  のことである。
  

　最小である数は
　同じ比をもつ数を割り切り、
　前項が前項を、
　後項が後項を割った商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  のことである。
  

そして
　ＥがＱに対するように、
　ＰがＤに対する。

• 　（３）による。

したがって
　ＥがＰを、
　ＱがＤを割った商は等しい。

• 　前節、前々節による。
• 　Ｐ／Ｅ＝Ｄ／Ｑ
  となっている。

ところが
　ＤはＡ、Ｂ、Ｃ以外の
　他のいかなる数にも割り切られない。

• 　（４）による。

それゆえ
　Ａ、Ｂ、Ｃの一つと同じである。

• 　前節による。

　Ｂと同じである
とせよ。
　　　　　　[......(Ｃ)]

• 　Ｑ＝Ｂ
  としている。
  したがって、
  　Ｐ／Ｅ＝Ｄ／Ｂ
  となっている。
  

そして
　Ｂ、Ｃ、Ｄの個数がいくつであろうと、
　Ｅから始まり
　同じ個数のＥ、ＨＫ、Ｌがとられた
とせよ。
　 Ｅ、 ＨＫ、Ｌは
　Ｂ、Ｃ、Ｄと同じ比をなす。

• 　（ａ）による。

ゆえに
　等間隔比により
　ＢがＤに対するように、
　ＥがＬに対する。　

• 　前節、
  　命題７ー１４（数の等間隔比）
  による。
  
• 　Ｂ：Ｄ＝Ｅ：Ｌ
  となっている。

したがって
　Ｂ、Ｌの積はＤ、Ｅの積に等しい。　

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　ここの論証は
  　命題９ー３６の補足（２つの順次比例の一方の初項と他方の末項の積）
  と同じである。
  
• 　Ｂ×Ｌ＝Ｄ×Ｅ
  となっている。

ところが
　Ｄ、Ｅの積は
　Ｑ、Ｐの積に等しい。

• 　（２）により
  　Ｅ：Ｑ＝Ｐ：Ｄ
  となり、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ｄ×Ｅ＝Ｑ×Ｐ
  となっている。

したがって
　Ｑ、Ｐの積はＢ、Ｌの積に等しい。　

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ｑ×Ｐ＝Ｂ×Ｌ
  となっている。

それゆえ
　ＱがＢに対するように、
　ＬがＰに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ｑ：Ｂ＝Ｌ：Ｐ
  となっている。

そして
　ＱはＢと同じである。　

• 　（ｃ）による。

ゆえに
　ＬもＰと同じである。

• 　前節、
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　Ｌ＝Ｐ
  となっている。

［（ｃ）において、
　ＱをＡ、Ｃ
としても、
　同様に
　Ｐは、それぞれ、Ｍ、ＨＫとなる。 ］

これは不可能である。

なぜなら
　Ｐは定められた数の
　いずれとも同じでない
と仮定されているから。

• 　背理法の仮定による。

したがって
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍと
　単位以外の他のいかなる数も
　ＦＧを割り切らない
であろう。

• 　背理法による。

そして
　ＦＧは
　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、ＨＫ、Ｌ、Ｍと
　単位との和に等しい
ことが証明された。　

• 　（２）による。
• 　ＦＧ＝１＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ
  　＋Ｅ＋ＨＫ＋Ｌ＋Ｍ
  となっている。

ところが
　完全数とは
　自分自身の約数の和に等しい数である。

• 　定義７−２３（完全数） による。

よって
　ＦＧは完全数である。

• 　前節、前々節による。

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー３６は、
  　Ｓn；Ｓn＝１十２^1十２^2十……＋２^(n-1)
  のとき、
  　Ｓn；素数
  ならば、
  　Ｓn×２^(n-1)；完全数
  のことである。
  
• 命題９ー３６の補足 （同じ比の２つの順次比例の各項は一方の初項と他方の末項の積の約数）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-14,7-19
  その他

• 命題９ー３６は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-21,7-23
  公準
  公理		1-1,1-2,1-8補5
  命題		補4(義7-16),7-14,7-19,7-20,7-21,7-29,9-13,9-35,9-36補
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題5-1),背理法

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