ユークリッド原論をどう読むか（１４）
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（１４）はじめに

　今回は、
　３部に別れている第１０巻の第１部である。

　この部には
　有理線分、無理線分、有理面積、無理面積が登場する。
　有理、無理という表現は、
　　今日のものからイメージを重ねると、
　　誤解を生じさせてしまう。
　議論の出発点は、
　　面積にあることに留意すること
が肝要である。
　面積に関して、
　　有理、無理の概念を明確にする
ために、前提として、
　通約という概念
　（今日的に言えば互いに有理数倍となる関係）
が用意される。
　その出発点が、
　命題１０ー１である。
　いわゆるアルキメデスの原理である。
　この命題１０ー１を用いて、
　命題１０ー２で非通約を論証する。
　今日的にいえば、
　無理数が有理数と通約でない
ということになる。
　そこで、原論の世界に戻って、
　定義１０ー３（有理、無理）において、有理線分と無理線分が
以下の通り定義される。
「定められた線分が有理とよばれるとし、
　それと長さと平方において、
あるいは
　平方においてのみ通約できる線分が
　　有理［とよばれ］、
　それと［平方においても］通約できない線分が無理
とよばれるとせよ。」
　そして、
　定義１０ー４（面積の有理、無理、無理線分）において、
　有理面積、無理面積が定義される。
「そして定められた線分上の正方形が有理、
　それと通約できる面積が有理、
　それと通約できない面積が無理とよばれ、
そして
　これら無理面積に等しい正方形の辺が無理
とよばれるとせよ」
　すなわち、
　有理線分上の正方形の面積が有理面積
とよばれ、
　これと通約な面積が有理面積
とよばれ、
　有理面積となる正方形の一辺が有理線分
とよばれる。
　面積における有理、無理については、
　　今日の用語の使い方と矛盾はない。
そこで、
　無理線分に進むのであるが、
　有理面積の痕跡を色濃く残している、
　　中項面積、中項線分が定義され、
さらに、
　二項線分、双中項線分、優線分、
　中項面積と有理面積の和に等しい正方形の辺、
　中項面積の和に等しい正方形の辺が定義される。
　最後に紹介した２つの線分の名前からしても、
　面積が土台となって
　　概念が構築されている
ことが理解されよう。
　最後に上げた線分は、
　　その名前の由来となる２つの線分の和
　　として定義されるのであるが、
　２つの線分への分割点が
　　本質的に１点に限る
ということが証明されて、
　１０巻の第一部が終わる。

なお、
　本文を読むに当たって、
　次のことに留意いただきたい。
　第１０巻第１部にあたり、繰り返しておく。
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