ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１（相似平面数の積は平方数）
（構成.相似な平面数の積）
もし
　２つの相似な平面数が
　互いにかけあわせて
　ある数をつくる
ならば、
　その積は平方数
であろう。

• 相似は、
  定義７ー２２による。
• 平面数は、
  定義７ー１７による。
• かけるは、
  定義７ー１６による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 積は、
  定義７ー１６の補足２による。
• 平方数は、
  定義７ー１９による。

　Ａ、Ｂを２つの相似な平面数
とし、
　ＡがＢにかけてＣをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈがあって、
  　Ａ＝Ｅ×Ｆ、Ｂ＝Ｇ×Ｈ、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｇ：Ｈ、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

　Ｃは平方数である
と主張する。

　Ａが２乗してＤをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ａ^2＝Ｄ
  となっている。

そうすれば
　Ｄは平方数である。

そこで
　ＡがＡにかけてＤをつくり、
　ＢにかけてＣをつくった

• 　前々節、 命題の設定による。

から、
　ＡがＢに対するように、
　ＤがＣに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｃ
  となっている。

そして
　Ａ、Ｂは
　相似な平面数である

• 　命題の設定による。

から、
　Ａ、Ｂの間には
　１つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１８の補足（構成.相似な平面数の比例中項）
  により、
  　Ａ(Ｅ×Ｆ)：Ｅ×Ｈ＝Ｅ×Ｈ：Ｂ(Ｇ×Ｈ)
  となっている。
  

《なぜならば》［ところが］ もし
　２つの数の間に
　順次に比例する数が入る
ならば、
　いくつの数がその間に入ろう
と、
　同じ個数の数がもとの数と
　同じ比をもつ２数の間にも入る。

• 　命題８ー８（同じ順次比例での項の挿入）
  のことである。
  

それゆえ
　Ｄ、Ｃの間にも
　１つの比例中項数が入る。

• 　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  に沿えば、
  　以下のように比例中項が構成される。
  
  　命題の設定により、
  　Ａ＝Ｅ×Ｆ、Ｂ＝Ｇ×Ｈ、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｇ：Ｈ
  となっており、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｇ：Ｈ＝Ｋ：Ｌ（最小）
  とすると、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　数Ｍ、Ｎがあって、
  　Ｅ＝Ｍ×Ｋ、Ｆ＝Ｍ×Ｌ
  　Ｇ＝Ｎ×Ｋ、Ｈ＝Ｎ×Ｌ
  となるので、
  　Ａ＝Ｍ^2×Ｋ×Ｌ
  　Ｂ＝Ｎ^2×Ｋ×Ｌ
  となり、
  　Ａ：Ｂ＝Ｍ^2：Ｎ^2
  となる。
  
  したがって
  　ＡとＢ、ＤとＣの間に
  　Ｍ：Ｎの比で
  　比例中項がはいる
  ので
  　Ｄ(Ａ^2)、Ｃ(Ａ×Ｂ)の間の比例中項は、
  　Ａ×Ｍ×Ｎ×Ｋ×Ｌである。
  
• 　以下のようにも推論できる。
  　前々節、
  により、
  　Ａ(Ｅ×Ｆ)：Ｅ×Ｈ＝Ｅ×Ｈ：Ｂ(Ｇ×Ｈ)
  となっており、
  　命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  により
  　各項にＡをかけても
  　同じ比
  だから、
  　Ｄ：Ａ×（Ｅ×Ｈ）＝Ａ×（Ｅ×Ｈ）：Ｃ
  となっている。
  

そして
　Ｄは平方数である。

• 　（ａ）による。
• 　Ｄ＝Ａ^2
  となっている。

ゆえに
　Ｃも平方数である。

• 　前節、前々節、
  　命題８ー２２（順次比例と平方数）
  による。
  
• 　Ｄ＝Ｅ^2×Ｆ^2、Ａ×(Ｅ×Ｈ)、
  　Ｃ＝Ｅ^2×Ｈ^2
  となっている。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　証明の過程を振り返る
  と
  　次のことが分かる。
  　命題７ー２２の補足(構成.２数の比の最小数)
  により、
  　相似な平面数Ａ、Ｂの
  　辺の比をＦ：Ｈ（最小）
  とすると、
  　命題８ー５（平面数の比は辺の比の積）
  により、
  　Ａ：Ｂ＝Ｆ^2：Ｈ^2
  となり、
  　命題７ー２２（同じ比の最小の２数は互いに素）
  　命題７ー２５（対して素なら２乗も対して素）
  　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  により、
  　Ａ＝Ｎ×Ｆ^2、
  　Ｂ＝Ｎ×Ｈ^2
  となり、
  　Ａ×Ｂ＝（（Ａ／Ｆ）×Ｂ）^2
  となっている。
  よって、
  　相似な平面数Ａ、Ｂの
  　辺の比をＦ：Ｈ（最小）
  とすると、
  　Ａ×Ｂ＝（（Ａ／Ｆ）×Ｂ）^2
  (以下、命題の９ー１の補足 （構成.相似な平面数の積）という。)
  
• 命題９ー１は、
  　Ａ、Ｂ；相似な平面数、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  ならば、
  　Ｃ；平方数
  のことである。
  
• 命題の９ー１の補足 （構成.相似な平面数の積）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-22補	補4(義7-16),7-20,7-21,7-22,7-25,8-5
  その他

  
  
• 命題９ー１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-8補,8-18補	7-17,7-20,8-8,8-22
  その他	コ4(題7-1)

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