ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題９ー２（かけあわせて平方数なら相似な平面数）
(構成.積が平方数の相似な平面数)
もし
　２つの数が
　互いにかけあわせて
　平方数をつくる
ならば、
　それらは相似な平面数
　である。

• 数は、
  定義７ー２による。
• かけるは、
  定義７ー１６による。
• 平方数は、
  定義７ー１９による。
• 相似は、
  定義７ー２２による。
• 平面数は、
  定義７ー１７による。

　Ａ、Ｂを２つの数
とし、
　ＡがＢにかけて平方数Ｃをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｅがあって、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ、
  　Ｃ＝Ｅ^2
  となっている。
  

　Ａ、Ｂは相似な平面数である
と主張する。

　Ａが２乗してＤをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ａ^2＝Ｄ
  となっている。

そうすれば
　Ｄは平方数である。

• 　定義７−１９（平方数） による。
• 　Ｄ＝Ａ^2
  となっている。

そして
　Ａが２乗してＤをつくり、
　ＢにかけてＣをつくった

• 　（ａ）、 　命題の設定による
• 　Ａ^2＝Ｄ、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　ＡがＢに対するように、
　ＤがＣに対する。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｃ
  となっている。
  

そして
　Ｄは平方数であり、
　Ｃもそうである

• 　（ａ）、 命題の設定による。

から、
　Ｄ、Ｃは相似な平面数である。

• 　前節、
  　命題８ー２４の補足（平方数は相似）
  による。
  
• 　Ｄ＝Ａ^2
  　Ｃ＝Ｅ^2
  となっている。
  

それゆえ
　Ｄ、Ｃの間には
　１つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１８の補足（構成.相似な平面数の比例中項）
  により、
  　Ａ×Ｅ
  　が比例中項になる。
  

そして
　ＤがＣに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　（１）による。

ゆえに
　Ａ、Ｂの間にも
　１つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  により、
  　Ａ／Ａ×Ｅ＝Ｅ
  　が比例中項としてはいる。
  

ところがもし
　２つの数の間に
　１つの比例中項数が入る
ならば、
　それらの２数は相似な平面数である。

• 　命題８ー２０（比例中項と相似な平面数）
  のことである。
  
• 　Ａ：Ｅ＝Ｅ：Ｂ＝Ｆ：Ｇ（最小）
  とすれば、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　数Ｋ、Ｌがあって
  　Ａ／Ｆ＝Ｅ／Ｇ＝Ｋ、
  　Ｅ／Ｆ＝Ｂ／Ｇ＝Ｌ
  となり。
  　Ｅ＝Ｇ×Ｋ＝Ｆ×Ｌ、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  により、
  　Ｆ：Ｋ＝Ｇ：Ｌ、
  また、
  　Ａ＝Ｆ×Ｋ、Ｂ＝Ｇ×Ｌ、
  となるので
  　Ａ、Ｂは相似な平面数
  とわかる。
  

したがって
　Ａ、Ｂは相似な平面数である。

　これが証明すべきことであった。

• 　証明の過程を振り返ると、
  　次のことがわかる。
  　Ａ×Ｂ＝Ｅ^2
  ならば、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  により、
  　Ａ：Ｅ＝Ｅ：Ｂ
  となり、
  　命題７ー２２の補足(構成.２数の比の最小数)
  により、
  　Ａ：Ｅ＝Ｅ：Ｂ＝Ｆ：Ｇ(最小)
  となるＦ、Ｇをとり、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  により、
  　Ｅ＝Ｆ×Ｌ＝Ｇ×Ｋ
  とすれば、
  　Ａ×Ｂ＝Ｅ^2
  ならば、
  　Ａ：Ｅ＝Ｅ：Ｂ＝Ｆ：Ｇ(最小)
  　Ｅ＝Ｆ×Ｌ＝Ｇ×Ｋ
  をとれば、
  　相似なＡ、Ｂの辺は、
  　Ａ＝Ｆ×Ｋ、Ｂ＝Ｇ×Ｌ
  となる。
  (以下、命題９ー２の補足(構成.積が平方数の相似な平面数)という。)
  
• 命題９ー２は、
  　Ａ×Ｂ；平方数
  ならば、
  　Ａ、Ｂ；相似な平面数
  のことである。
  
• 命題９ー２の補足(構成.積が平方数の相似な平面数)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-22補	補4(義7-16),7-19,7-20
  その他

• 命題９ー２は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-19
  公準
  公理
  命題	8-8補,8-18補	7-17,7-19,7-20,8-20,8-24補
  その他	コ4(題7-1)

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