ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１−４２（作図.角,三角形と平行四辺形）
与えられた直線角の中に
与えられた三角形に等しい
平行四辺形をつくること。
与えられた三角形をＡＢＣ、
与えられた直線角をＤとせよ。
このとき
直線角Ｄの中に
三角形ＡＢＣに等しい
平行四辺形をつくらねばならぬ。
ＢＣがＥにおいて２等分され、
【・・・(a)】
- 命題１−１０（作図・線分の２等分）
による。
-
中点Ｅ(ＢＣ)
をとっている。
ＡＥが結ばれ、
- 公準１−１（作図.直線）
による。
-
線分ＡＥ
をとっている。
線分ＥＣ上に
その上の点Ｅにおいて
角Ｄに等しい角ＣＥＦがつくられ、
【・・・(b)】
- 命題１−２３（作図・直線上に指定された角）
による。
- この論証では、
三角形の底辺の方に
角を移動しているが、
三角形を角の方に
移動することもできる。
命題１−１０により
ＢＣの中点Ｅをとり、
命題１−３により
ＥＣに等しくなるように
角Ｄの辺上にＤＣ’となるＣ’をとり、
公準１−１により
線分ＤＣ’をＤの方に延長し、
再度命題１−３により
ＥＢに等しくなるように
延長した直線上にＤＢ’となるＢ’をとる。
直線Ｂ’Ｃ’について、
角Ｄの他方の辺と同じ側に、
命題１−７の補足により、
ＢＡ、ＣＡにＢ’Ａ’、Ｃ’Ａ’が
それぞれ等しくなるように
点Ａ’をとると、
三角形ＡＢＣとＡ’Ｂ’Ｃ’は等しい。
これで、角の方に三角形を移動できた。
-
半直線ＥＦ'[∠ＣＥＦ'＝∠Ｄ,同側(ＣＥ,Ａ)]
をとっている。
Ａを通り
ＥＣに平行にＡＧがひかれ、
【・・・(c)】
- 命題１−３１（作図・平行線）
による。
-
平行線ＡＧ'(Ａ,ＥＣ)
をとっている。
Ｃを通り
ＥＦに平行にＣＧがひかれたとせよ。
【・・・(d)】
- 与えられた角がＣＥＦとなるので
ＢＣとＥＦは交わり、
ＢＣとＡＧは平行であるから
命題１−３０の補足(交線に平行な線)
により
ＡＧとＥＦは交わる。
この交点を改めてＦとしている。
さらに
ＡＧとＥＦが交わり
ＣＧを
ＥＦと平行になるように
ひいたのであるから
命題１−３０の補足(交線に平行な線)
により
ＣＧとＡＧは交わる。
この交点を改めてＧとし、
ＣＧと書いている。
-
交点Ｆ(ＥＦ',ＡＧ')、
交点Ｇ(ＡＧ',平行線(Ｃ,ＥＦ))
をとっている。
そうすれば
ＦＥＣＧは平行四辺形である。
【・・・(1)】
そして
ＢＥはＥＣに等しいから、
三角形ＡＢＥも三角形ＡＥＣに等しい。
なぜなら
等しい底辺ＢＥ、ＥＣの上にあり
かつ
同じ平行線ＢＣ、ＡＧの間にある
から。
それゆえ
三角形ＡＢＣは
三角形ＡＥＣの2倍である。
-
前節による。
-
△ＡＢＣ＝２×△ＡＥＣ
となっている。
ところが
平行四辺形ＦＥＣＧも
三角形ＡＥＣの２倍である。
なぜなら
それと同じ底辺をもち
かつ
それと同じ平行線の間にある
から。
- (1)
,
命題１−41（同一底辺上の平行四辺形と三角形の面積）
による。
-
平四ＦＥＣＧ＝２×△ＡＥＣ
となっている。
ゆえに
平行四辺形ＦＥＣＧは
三角形ＡＢＣに等しい。
- 公理１−5（同じものの２倍）
による。
-
平四ＦＥＣＧ＝△ＡＢＣ
となっている。
そして
与えられた角Ｄに
等しい角ＣＥＦをもつ。
よって
与えられた直線角の中に
与えられた三角形に等しい
平行四辺形をつくられた。
これが作図すべきものであった。
- この命題が、
直線図形を
指定された角におさまる
平行四辺形に
等積変形する第一歩である。
- 命題1-42は、
△ＡＢＣ、
直線角Ｄ
に対して、
中点Ｅ(ＢＣ)、
半直線ＥＦ'(同側(ＣＥ,Ａ);;∠ＣＥＦ'＝∠Ｄ,)、
平行線ＡＧ'(Ａ,ＥＣ)、
交点Ｆ(ＥＦ',ＡＧ')、
交点Ｇ(ＡＧ',平行線(Ｃ,ＥＦ))、
をとれば、
平四ＦＥＣＧ＝△ＡＢＣ
のことである。
- 命題1-42は作図用命題である。
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