ユークリッド原論をどう読むか（３）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー２８（内対角、同側内角と平行）
外角･内対角(平行線)
もし
１直線が２直線に交わってなす
一つの外角が
同じ側の内対角に等しいか
または
同側内角の和が２直角に等しければ、
この２直線は互いに平行であろう。
- 直線は、定義１ー４による。
- 交わるは、定義１ー８の補足による。
- 外角、内対角は、
通常、
定義の補足（命題１ー１６）によるが、
登場する３直線のうち２直線が平行である場合、
外角は、
無限遠に第三の頂点がある
三角形ができているものとみなして、
平行線の外側の角をいい、
内対角は
その外角と共通となる辺（直線）について
同じ側にある、
平行線の内側の角をいう。
（以下、定義の補足（命題１ー２８）(外角･内対角(平行線))という。）
- 同じ側にあるとは定義１ー７の補足による。
- 等しいは、公理１ー７による。
- 内角は、定義の補足（公準１ー５）による。
- 直角は、定義１ー１０による。
- 平行は、定義１ー２３による。
- 外角と同じ側の内対角とのことを
今日では同位角といっている。
２直線ＡＢ、ＣＤに
直線ＥＦが交わってなす
外角ＥＧＢが
内対角ＧＨＤに等しいか
または同側内角ＢＧＨ、ＧＨＤの和が
２直角に等しいとせよ。
-
直線ＡＢ
に対して、
点Ｇ[ＡＢ]、
点Ｈ[外.ＡＢ]、
点Ｅ[延長ＨＧ]、
点Ｄ[同側(ＧＨ,Ｂ);;∠ＧＨＤ＝∠ＥＧＢ]、
または
点Ｄ[同側(ＧＨ,Ｂ);;∠ＧＨＤ＋∠ＢＧＨ＝２×∠Ｒ]、
点Ｃ[延長ＤＨ]
をとっている。
ＡＢはＣＤに平行であると主張する。
角ＥＧＢは角ＧＨＤに等しく、
- 命題の設定
による。
-
∠ＥＧＢ＝∠ＧＨＤ
となっている。
また
角ＥＧＢは角ＡＧＨに等しいから、
- 命題１ー１５（対頂角）
による。
-
∠ＥＧＢ＝∠ＡＧＨ
となっている。
角ＡＧＨもＧＨＤに等しい。
- 公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＡＧＨ＝∠ＧＨＤ
となっている。
そして
錯角である。
それゆえ
ＡＢはＣＤに平行である。
- 命題１ー２７（錯角と平行）
による。
-
ＡＢ‖ＣＤ
となっている。
また
角ＢＧＨ、ＧＨＤの和は２直角に等しく、
- 命題の設定
による。
-
∠ＢＧＨ＝∠ＧＨＤ
となっている。
角ＡＧＨ、ＢＧＨの和も２直角に等しいから、
- 命題１ー１３（直線と２直角１）
による。
-
∠ＡＧＨ＋∠ＢＧＨ＝２×∠Ｒ
となっている。
角ＡＧＨ、ＢＧＨの和は
角ＢＧＨ、ＧＨＤの和に等しい。
- 公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＡＧＨ＋∠ＢＧＨ＝∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ
となっている。
双方から
角ＢＧＨが引きさられたとせよ。
そうすれば
残りの角ＡＧＨは残りの角ＧＨＤに等しい。
- 公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
による。
-
∠ＡＧＨ＝∠ＧＨＤ
となっている。
しかも錯角である。
ゆえにＡＢはＣＤに平行である。
- 命題１ー２７（錯角と平行）
による。
ＡＢ‖ＣＤ
となっている。
よってもし
１直線が
２直線に交わってなす
一つの外角が
同じ側の内対角に等しいか
または
同側内角の和が
２直角に等しければ、
この２直線は互いに平行であろう。
これが証明すべきことであった。
- この命題は
公準１ー５（平行線公準）
の裏である。
- 命題１ー２７（錯角と平行）
を前提とせず、
命題１ー１７（三角形の２角の和）
を前提として証明することができる。
そして、
この命題を前提として
命題１ー２７（錯角と平行）
を証明することができる。
したがって、
命題１ー２７（錯角と平行）、
命題１ー２８（内対角、同側内角と平行）
は同値である。
- 命題１ー２７（錯角と平行）、
命題１ー２８（内対角、同側内角と平行）
により、
公準１ー５（平行線公準）
を前提とせずに、
任意の直線に対して
錯角が等しい
（あるいはこれに同等な）
平行線が存在することが、
命題１ー３１（作図・平行線）
で証明される。
- 命題1-28は、
直線ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ
に対して、
交点Ｇ(直線ＥＦ,直線ＡＢ)、
交点Ｈ(直線ＥＦ,直線ＣＤ)、
とするとき
外角ＥＧＢ＝内対角ＧＨＤ
または
同側内角∠ＢＧＨ＋∠ＧＨＤ＝２×∠Ｒ
ならば、
ＡＢ‖ＣＤ
のことである。
- 命題1-28は推論用命題である。
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