ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論

第６巻

命題６ー３（角の２等分線と底辺の比例区分）
もし
　三角形の１つの角が２等分され、
　角を分ける直線が
　　底辺をも分けるならば、
　底辺の２部分は
　　三角形の残りの２辺と同じ比をもつ
　であろう。
そしてもし
　底辺の２部分が
　　三角形の残りの２辺と同じ比をもつ
　ならば、
　頂点から区分点を結ぶ直線は
　　三角形の角を２等分する
　であろう。

• 三角形は、定義１ー１９の補足２ による。
• 角は、定義１ー８ による。
• 等分は、定義の補足２（公理１ー６） による。
• 直線は、定義１ー４ による。
• 底辺は、定義の補足（命題１ー３５） による。
• 辺は、定義１ー１９の補足 による。
• 同じ比は、定義５ー５ による。
• 頂点は、定義６ー４の補足 による。

ＡＢＣを三角形とし、
　角ＢＡＣが
　　線分ＡＤによって２等分された
　とせよ。

• 命題１ー９ （作図・角の２等分）
  による。
• 　△ＡＢＣ
  に対して、
  　交点Ｄ(二等分線(∠ＢＡＣ),ＢＣ)
  をとっている。

ＢＤがＣＤに対するように、
　ＢＡがＡＣに対する
　と主張する。

Ｃを通り
　ＤＡに平行にＣＥがひかれ、【・・・(a)】

• 命題１ー３１ （作図・平行線）
  による。
• 　平行線(Ｃ,ＤＡ)
  をとっている。

　ＢＡが延長されて

• 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  による。
• 　延長(ＢＡ)
  をとっている。

　それとＥにおいて交わる
　とせよ。

• 命題１ー３０の補足 (交線に平行な線)
  による。
• 　交点Ｅ(延長ＢＡ,平行線(Ｃ,ＤＡ))
  をとっている。

そうすれば
　線分ＡＣが平行線ＡＤ、ＥＣに交わるから、

• (a) 作図の設定による。
• 　ＡＣ;╂(ＡＤ、ＥＣ)
  となっている。

　角ＡＣＥは角ＣＡＤに等しい。【・・・(1)】

• 命題１ー２９ （平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＤ
  となっている。

ところが
　角ＣＡＤは角ＢＡＤに等しい
　と仮定されている。

• 命題の設定 である。
• 　∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ
  となっている。

それゆえ
　角ＢＡＤも角ＡＣＥに等しい。【・・・(2)】

• (1) ,公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠ＡＣＥ
  となっている。

また
　線分ＢＡＥが
　　平行線ＡＤ、ＥＣに交わるから、

• (a)による。
• 　ＢＡＥ;╂(ＡＤ、ＥＣ;;ＡＤ‖ＥＣ)

　外角ＢＡＤは内［対］角ＡＥＣに等しい。【・・・(3)】

• 命題１ー２９ （平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠ＡＥＣ
  となっている。

ところが
　角ＡＣＥが角ＢＡＤに等しい
　ことも先に証明された。

• (2) による。
• 　∠ＡＣＥ＝∠ＢＡＤ
  となっている。

ゆえに
　角ＡＣＥは角ＡＥＣに等しい。

• (3) ,公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＡＣＥ＝∠ＡＥＣ
  となっている。

したがって
　辺ＡＥは辺ＡＣに等しい。【・・・(4)】

• 命題１ー６ （等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＡＥ＝ＡＣ
  となっている。

そして
　ＡＤは
　三角形ＢＣＥの１辺ＥＣに
　平行《にひかれた》［である］
　から、

• (a) による。
• 　ＡＤ‖ＥＣ
  となっている。

　比例して、
　ＢＤがＤＣに対するように、
　ＢＡがＡＥに対する。【・・・(5)】

• 命題６ー２ （三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  による。
• 　ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＥ
  となっている。

ところが
　ＡＥはＡＣに等しい。

• (4) による。
• 　ＡＥ＝ＡＣ
  となっている。

したがって
　ＢＤがＤＣに対するように、
　ＢＡがＡＣに対する。

• (5) ,命題５ー１１の補足２ （等しい量は同じ比をもつ）
  による。
• 　ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＣ
  となっている。

　
また
　ＢＤがＤＣに対するように、
　ＢＡがＡＣに対し、
　ＡＤが結ばれたとせよ。

• 実際にこのように作図するには、
  　公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により、
  　辺ＢＡをＡの方に延長し、
  　命題１ー３の補足 （作図.等しい線分となる点）
  により、
  　この延長上にＥを、
  　　ＡＥが辺ＡＣと等しくなるようにとり、
  　公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＥとＣを結び、
  　命題１ー３１ （作図・平行線）
  により
  　Ａを通りＥＣに平行な直線をひく。
  この直線は、
  　命題の補足３（定義１ー１４） （図形と直線の交点）
  により、
  　辺ＢＣと交わり、
  　その交点をＤとする。
  すると、
  　作図の設定 、命題６ー２ （三角形の辺の平行線による辺の比例区分） 、
  命題５ー１１の補足２ （等しい量は同じ比をもつ）
  により、
  　ＢＡ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣとなる。
  
• 　△ＡＢＣ
  に対して、
  　Ｄ(ＢＣ;;ＢＡ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ)
  をとっている。

角ＢＡＣは
　線分ＡＤによって２等分されている
　と主張する。

• 命題の後半である。

　
同じ作図がなされたとき、

• 　交点Ｅ(平行線(Ｃ,ＤＡ),延長ＢＡ)
  をとっている。

　ＢＤがＤＣに対するように、
　ＢＡがＡＣに対し、
　ＡＤは
　三角形ＢＣＥの１辺ＥＣに
　平行にひかれたため【・・・(b)】

• 同じ作図の内容を述べている。
  作図の設定である。
  
• 　ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＣ、
  　ＡＤ‖ＥＣ
  となっている。

　ＢＤがＤＣに対するように
　ＢＡがＡＥに対するから、

• 命題６ー２ （三角形の辺の平行線による辺の比例区分）
  による。
• 　ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＥ
  となっている。

　ＢＡがＡＣに対するように、
　ＢＡがＡＥに対する。

• (b) ,命題５ー１１ （同一の比に同じ比）
  による。
• 　ＢＡ：ＡＣ＝ＢＡ：ＡＥ
  となっている。

それゆえ
　ＡＣはＡＥに等しい。

• 命題５ー９ （同一比の量）
  による。
• 　ＡＣ＝ＡＥ
  となっている。

ゆえに
　角ＡＥＣは角ＡＣＥに等しい。【・・・(6)】

• 命題１ー６ （等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ
  となっている。

ところが
　角ＡＥＣは外角ＢＡＤに等しく、
　角ＡＣＥは錯角ＣＡＤに等しい。

• 命題１ー２９ （平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＡＥＣ＝∠ＢＡＤ、
  　∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＤ
  となっている。

したがって
　角ＢＡＤも角ＣＡＤに等しい。

• (6) ,公理１ー１の補足 （等しいものに等しい）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ
  となっている。

ゆえに
　角ＢＡＣは
　線分ＡＤによって２等分されている。

• 　ＡＤ;二等分線(∠ＢＡＣ)
  となっている。

よってもし
　三角形の１つの角が２等分され、
　角を分ける直線が底辺をも分けるならば、
　底辺の２部分は
　三角形の残りの２辺と同じ比をもつであろう。
そしてもし
　底辺の２部分が
　三角形の残りの２辺と同じ比をもつならば、
　頂点から区分点を結ぶ直線は
　三角形の角を２等分するであろう。
これが証明すべきことであった。

• 　作図の過程を振り返ると、
  　命題１ー９ （作図・角の２等分）
  による
  　　角の２等分とは独立した
  　　作図方法である
  　と見ることもできる。
  
• 命題６ー３は、
  　△ＡＢＣ
  に対して、
  　Ｄ(ＢＣ;;ＡＤ;二等分線(∠ＢＡＣ))
  をとれば、
  　ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＣ
  逆に、
  　Ｄ(ＢＣ;;ＢＤ：ＤＣ＝ＢＡ：ＡＣ)
  をとれば、
  　ＡＤ;二等分線(∠ＢＡＣ)
  のことである。
  　
• 命題６ー３は推論用命題である。
  

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1,1-2
  公理		1-1,1-1補
  命題	補3(義1-14),1-3補,1-9,1-30補,1-31	1-6,1-29,5-9,5-11,5-11補,6-2
  その他

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