ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻

命題１−３９（三角形の等積変形の逆１）　
同じ底辺の上にあり
　かつ
　同じ側にある
　等しい三角形は
　同じ平行線の間にある。

• 底辺は、定義の補足（命題１−３５）による。
• 同じ側は、定義１−７の補足による。
• 三角形は、定義１−１９の補足２による。
• 平行線は、定義１−２３による。

ＡＢＣ、ＤＢＣを
　同じ底辺ＢＣの上にあり
　かつ
　同じ側にある
　等しい三角形とせよ。

• 　△ＡＢＣ
  に対して、
  　点Ｄ[同側(ＢＣ,Ａ);;△ＤＢＣ＝△ＡＢＣ]
  をとっている。
  

それらは同じ平行線の間にある
　と主張する。
　


ＡＤが結ばれたとせよ。

• 公準１−１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＤ
  をとっている。

ＡＤがＢＣに平行である
　と主張する。

もし
　平行でなければ、

• 背理法の仮定である。

点Ａを通り
　線分ＢＣに平行にＡＥがひかれ、
　　　　　　【・・・(a)】

• 命題１−３１（作図・平行線）
  により
  　Ａを通り
  　ＢＣに平行な線がひかれ、
  　命題１−３０の補足(交線に平行な線)
  により
  　ＢＣと交わるＢＤと平行線とが
  　Ｄと異なる交点をもつ。
  これをＥとする。
  定義１ー４の補足（半直線）
  により
  　Ｅの位置は、
  　Ｄについて
  　Ｂと同じ側にある場合と
  　Ｂと反対側にある場合
  　がある。
  
  図は
  　線分ＢＤ上にある場合を示しているが、
  　以下の推論は、
  　ＤについてＢと反対側にある場合も
  　成立している。 ただし、
  　コメントの「ＤＢＣはＥＢＣより大きい。」を
  　「ＤＢＣはＥＢＣより小さい。」とする必要がある。
• 　交点Ｅ(ＢＤ,平行線(Ａ,ＢＣ))
  をとっている。

[ Ｂと同じ側にある場合 ]
ＥＣが結ばれたとせよ。

• 　公準１−１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＥＣ
  をとっている。

そうすれば
　三角形ＡＢＣは
　三角形ＥＢＣに等しい。
なぜなら
　同じ底辺の上にあり
　かつ
　同じ平行線の間にある
　から。

• (a) ,命題１−３７（三角形の等積変形１）
  による。
• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。
• 　△ＡＢＣ＝△ＥＢＣ
  となっている。

ところが
　ＡＢＣはＤＢＣに等しい。

• 命題の設定 による。
• 　△ＡＢＣ＝△ＤＢＣ
  となっている。

ゆえに
　ＤＢＣもＥＢＣに等しい、

• 公理１−１（同じものに等しい）
  による。
• 　△ＤＢＣ＝△ＥＢＣ
  となっている。

すなわち
　大きいものが小さいものに等しい。

• 公理１−８（大きい）
  により、
  　Ｅが線分ＢＤ上にある場合、
  　ＤＢＣはＥＢＣより大きい。

これは不可能である。
　
それゆえ
　ＡＥはＢＣに平行でない。
[ Ｂと反対側にある場合 ]
同様にして
　ＡＤ以外の他のいかなる線分もそうでない
　ことを証明しうる。

• コメント（命題１ー１４）である。
  

したがって
[ ２つの場合の結果より ]
　ＡＤはＢＣに平行である。

• 背理法による。

よって
　同じ底辺の上にあり
　かつ
　同じ側にある
　等しい三角形は
　同じ平行線の間にある。
　
これが証明すべきことであった。

• この命題は
  　命題１−３７（三角形の等積変形１）
  の逆であるが、
  　この命題の成立で、
  　命題１−３５（平行四辺形の等積変形１）
  の逆も
  　成立することがわかる。
• 命題1-39は、
  　△ＡＢＣ
  に対して、
  　点Ｄ[同側(ＢＣ,Ａ);;△ＤＢＣ＝△ＡＢＣ]
  　直線ＡＤ
  をとれば、
  　ＡＤ‖ＢＣ
  のことである。
  
• 命題1-39は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1
  公理		1-1、1-8
  命題	1-30補、1-31	1-37
  その他		背理法,場合分け, コ(題1-14),コ2(題1-16)f

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