ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー１５（直径と弦の大きさ）
円において
　直径は最も大きく、
　他の弦のうち
　 中心に近いものは
　遠いものより常に大きい。
　

• 円は、定義１ー１５ による。
• 直径は、定義１ー１７ による。
• 大きいは、公理１ー８ による。
• 弦は、定義３ー４の補足 による。
• 中心は、定義１ー１６ による。
• 近いは、定義３ー５の補足による。
• 遠いは、定義３ー５による。

ＡＢＣＤを円、
　ＡＤをその直径、
　Ｅを中心とし、
ＢＣは
　《直径ＡＤ》［中心Ｅ］に近く、
　ＦＧは遠いとせよ。

• 　円ＡＢＣＤ、
  に対して、
  　直径ＡＤ..円ＡＢＣＤ、
  　中心Ｅ.円ＡＢＣＤ、
  　弦ＢＣ..円ＡＢＣＤ、
  　垂足Ｈ(Ｅ,ＢＣ)、
  　点Ｚ[円ＡＢＣＤ;;外.(Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ)]、
  　点Ｋ[ＥＺ;;ＥＫ＞ＥＨ]、
  　交点Ｆ(円ＡＢＣＤ,垂線(Ｋ,ＥＺ);;同側(ＥＺ,Ａ))、
  　交点Ｇ(円ＡＢＣＤ,垂線(Ｋ,ＥＺ);;反対側(ＥＺ,Ａ))、
  をとっている。

ＡＤは
　最も大きく、
ＢＣは
　ＦＧより大きい
　と主張する。
　


中心Ｅから
　ＢＣ、ＦＧに
　垂線ＥＨ、ＥＫが
　ひかれたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題１ー１２（作図・線分への垂線）
  による。
• 　垂足Ｈ(Ｅ,ＢＣ)、
  　垂足Ｋ(Ｅ,ＦＧ)
  となっている。

ＢＣは
　中心に近く、
ＦＧは
　遠いから、

• 命題の設定 による。

ＥＫは
　ＥＨより大きい。 【・・・(1)】

• 定義３ー５（大きい距離・遠い）
  による。
• 　ＥＫ＞ＥＨ
  となっている。

ＥＬを
　ＥＨに等しくし、 【・・・(b)】

• 命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
  による。
• 　ＥＬ＝ＥＨ
  となっている。

　Ｌを通り
　ＥＫに直角に
　ＬＭがひかれ、 【・・・(c)】

• 命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  により、
  　円の内部にある点Ｌから、
  　直線ＥＫに垂直な半直線がひかれる。
  この半直線は、
  　円の内部を通っているので、
  　命題３−２の補足(円内通過直線は円周と２交点)
  により
  　円周と１点で交わる。
  この点をＭとする。
• 　交点Ｍ(円ＡＢＣＤ,垂線(Ｌ,ＥＫ);;同側(ＥＫ,Ａ))
  をとっている。

　Ｎまで延長され、

• 公準１−２（作図.直線の延長）
  により、
  　Ｌから、
  　Ｍとは反対方向に
  　半直線を延長する。
  この半直線は、
  　命題３−２の補足(円内通過直線は円周と２交点)
  により、
  　円周と１点で交わる。
  この点をＮとする。
• 　交点Ｎ(円ＡＢＣＤ,延長ＭＬ)
  をとっている。

　ＭＥ、ＥＮ、ＦＥ、ＥＧが結ばれたとせよ。

• 公準１−１（作図.直線）
  
• 　線分ＭＥ、ＥＮ、ＦＥ、ＥＧ
  をとっている。

　
ＥＨは
　ＥＬに等しいから、

• (b) による。
• 　ＥＨ＝ＥＬ
  となっている。

　ＢＣもＭＮに等しい。 【・・・(2)】

• 命題３−１４（等しい弦と中心からの距離）
  による。
• 　ＢＣ＝ＭＮ
  となっている。

また
ＡＥは
　ＥＭに、
ＥＤは
　ＥＮに
　等しいから、

• 命題の設定 ,定義１−１５（対頂角）
  による。
• 　ＡＥ＝ＥＭ、
  　ＥＤ＝ＥＮ
  となっている。

ＡＤは
　ＭＥ、ＥＮの和に等しい。

• 公理１−２（等しいものに等しいものを加える）
  による。
• 　ＡＤ＝ＭＥ＋ＥＮ
  となっている。

ところが
ＭＥ、ＥＮの和は
　ＭＮより大きく、

• 命題１−２０（三角形の２辺の和と１辺）
  による。
• 　ＭＥ＋ＥＮ＞ＭＮ
  となっている。

ＭＮは
　ＢＣに等しい。

• (b) ,命題３−１４（等しい弦と中心からの距離）
  による。
• 　ＭＮ＝ＢＣ
  となっている。

それゆえ
ＡＤは
　ＢＣより大きい。

• 公理１−８の補足２（等より大・小、大・小に等） という）
  による。
• 　ＡＤ＞ＢＣ
  となっている。

そして
２辺ＭＥ、ＥＮは
　２辺ＦＥ、ＥＧに等しく、

• 命題の設定 ,定義１−１５（円）
  による。
• 　(ＭＥ、ＥＮ)＝(ＦＥ、ＥＧ)
  となっている。

角ＭＥＮは
　角ＦＥＧより大きいから、

• 図から直観すれば、公理１−８（大きい）
  による。
  しかし、
  　論証としてはギャップがある。
  論理的には
  　ＭＮがＦＧより大きいことが論証されてから
  　角ＭＥＮが角ＦＥＧより大きいことが推論される。
• 　∠ＭＥＮ＞∠ＦＥＧ
  となっている。

底辺ＭＮは
　底辺ＦＧより大きい。

• 命題１−２４（三角形の角と底辺１）
  による。
• 適切な推論は次のようになる。
  (a) により、ＥＭとＥＦは等しく、
  　定義１ー２２（正方形・矩形・菱形・長斜方形・トラペジオン）
  により、
  　ＥＭ上の正方形とＥＦ上の正方形は等しくなる。
  (a) (c) により、角ＭＬＥ、角ＦＫＥは直角であり、
  　命題１−４７（三平方の定理）
  により、
  　ＥＭ上の正方形はＥＬ、ＬＭ上の正方形の和になり、
  　ＥＦ上の正方形は、ＥＫ、ＫＦ上の正方形の和になる。
  したがって、
  　ＥＬ、ＬＭ上の正方形の和と、
  　ＥＫ、ＫＦ上の正方形の和は等しくなる。
  ところが、
  　(1) (b) ,公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  によりＥＬはＥＫより小さいので、
  　定義１ー２２（作図・３線分から三角形）
  により、
  　ＥＬ上の正方形はＥＫ上の正方形より小さい。
  よって、
  　公理１ー４の補足４（和が等しく一方が大きい）
  により
  　ＬＭ上の正方形はＫＦ上の正方形より大きい。
  命題１−４８の補足（正方形の大等小と辺の大等小）
  により、
  　ＬＭはＫＦより大きい。
  (a) (a)命題３ー３（直径と弦）
  により
  　ＭＮ、ＦＧはそれぞれＬＭ、ＫＦの２倍であるから、
  　公理１ー８の補足４（大きい・小さいもののｎ倍・ｎ等分）
  により、
  　ＭＮはＦＧより大きい。
• 　ＭＮ＞ＦＧ
  となっている。

ところが、
　ＭＮがＢＣに等しいことは先に証明された。

• (2) による。
• 　ＭＮ＞ＢＣ
  となっていた。

ゆえに
直径ＡＤは
　最も大きく、
ＢＣは
　ＦＧより大きい。

• 　ＡＤ＞ＢＣ＞ＦＧ
  となっている。

よって
　円において
直径は
　最も大きく、
他の弦のうち
　中心に近いものは
　遠いものより常に大きい。
これが証明すべきことであった。

• 命題３ー１５は、
  　円ＡＢＣＤ、
  に対して、
  　直径ＡＤ..円ＡＢＣＤ、
  　中心Ｅ.円ＡＢＣＤ、
  　弦ＢＣ..円ＡＢＣＤ、
  　弦ＦＧ..円ＡＢＣＤ;距離(Ｅ,ＦＧ)＞距離(Ｅ,ＢＣ)
  をとれば、
  　ＡＤ＞ＢＣ＞ＦＧ
  のことである。
  
• 命題３ー１５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15,3-5[1-22]
  公準	1-1 ,1-2
  公理		1-2,1-8,1-8補2[1-4補4,1-8補2,1-8補4]
  命題	1-3補,1-11,1-12,3-2補	1-20,1-24,3-14[1-47,1-48補,3-3]
  その他

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