ユークリッド原論をどう読むか(13)
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第9巻
命題9ー20
(素数は無数)
多い・少ない
(構成.互いに素な任意個の数)
素数
の
個数
は
いかなる定められた
素数
の
個数
よりも
多い
。
素数は、
定義7ー12
による。
個数は、
定義5ー17の補足
による。
多い
は、
個数において大きいことをいう。
少ない
は、個数において小さいことをいう。
(以下、
定義の補足(命題9ー20)
(多い・少ない)という。)
定められた
個数
の
素数
を
A、B、C
とせよ。
「
数
(について)・・・とせよ」は、
コメント4(命題7ー1)
参照のこと。
準一般的な証明である。
コメント2(命題5ー1)
参照のこと。
A、B、Cより
多い
個数
の
素数
がある
と主張する。
A、B、Cに
割り切ら
れる
最小
数
がとられた
とし、
命題7ー36
(構成.3数の最小公倍数)
による。
それをDE
とし、
[......(a)]
A、B、C|DE(最小)
となっている。
DEに
単位
DFが加えられた
とせよ。
DE+DF(1)=EF
となっている。
そうすれば
EFは
素数
であるか
ないか
である。
定義7ー12
(素数)
定義7ー14
(合成数)
による。
場合分けをしようとしている。
まず
素数
であるとせよ
。
場合分け1である。
EF(素数)
となっている。
そうすれば
A、B、Cより
多い
素数
A、B、C、EFが見いだされた。
次に
EFが
素数
でない
とせよ。
場合分け2である。
EF(合成数)
となっている。
そうすれば
それは何らかの
素数
に
割り切ら
れる。
前節、
命題7ー31
(合成数を割り切る素数の存在)
による。
素数
Gに
割り切ら
れる
とせよ。
[......(b)]
G(素数)|EF
となっている。
Gは
A、B、Cのいずれとも
同じではない
と主張する。
もし可能ならば、
背理法の仮定を述べようとしている。
「もし可能ならば」は、
コメント2(命題1−7)
参照のこと。
同じである
とせよ。
背理法の仮定である。
G=AかBかC
としている。
ところが
A、B、Cは
DEを
割り切る
。
(a)
による。
したがって
GもDEを
割り切る
であろう。
前節、前々節、
公理の補足2(命題7ー4)
(約数(倍数)での代入の原理)
による。
ところが
EFをも
割り切る
。
(b)
による。
それゆえ
Gは
数
であって
残りの
単位
DFを
割り切る
であろう。
前節、前々節、
命題7−1の補足2
(倍数の和・差は倍数)
による。
これは不合理である。
前節
定義5ー1の補足2
(割り切る)
による。
ゆえに
GはA、B、Cの一つと同じではない。
背理法による。
そして
素数
である
と仮定されている。
(b)
による。
したがって
定められた
個数
のA、B、Cより
多い
個数
の
素数
A、B、C、Gが見いだされた。
場合分け1の2つの場合が終了
した。
これが証明すべきことであった。
本命題により、
任意個の互いに素な数
をとることができる。
(以下、
命題9ー20の補足2
(構成.互いに素な任意個の数)という。)
なぜなら、
命題7ー23の補足2
(構成.互いに素(最小数の比)の2数)
により、
互いに素な2つの数
をとることができる。
2つの数Z、Y
に対して、
命題7ー32の補足
(数の素因数分解の一意性)、
により、
ΠZi=Z、
ΠYj=Y
と素因数分解できる。
Zi、Yj
と異なる
任意個の素数Xk
をとれば、
X=ΠXk
は、
Z、Yと互いに素となる。
以上を順次繰り返すとよい。
命題9ー20
は、
A1、A2、…、An;異なる素数
のとき、
B=A1×A2×…×An+1(単位)
をとると、
B;あらたな素数、
または
C;あらたな素数(C|B)
のことである。
命題9ー20の補足2(構成.互いに素な任意個の数)
前提
作図
推論
定義
公準
公理
命題
7-23補2
7-32補
その他
命題9ー20
は推論用命題である。
前提
作図
推論
定義
5-1補2
,
7-12
,
7-14
公準
公理
補2(題7-4)
命題
7-1補2
,
7-31
,
7-36
その他
コ4(題7-1)
コ2(題1-7)
,
コ2(題5-1)
, 背理法,場合分け
前
次
目次
頁頭