ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１９（構成.３数から第４比例項）
　三つの数が与えられた
とき、
　いつそれらに対し
　第４の比例項を見いだすことができるか
を吟味すること。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 比例は、
  定義７ー２１による。

　与えられた３数をＡ、Ｂ、Ｃ
とし、
　いつそれらに対し
　第４の比例項を見いだすことができるか
を吟味せねばならぬ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  

さて
　それら［Ａ、Ｂ、Ｃ］は
　順次に比例せず、
　外項が互いに素である
か、または
　順次に比例し、
　外項が互いに素でない
か、または
　順次に比例せず、
　外項が互いに素でない
か、または
　順次に比例し、
　外項が互いに素である
か
である。

• 　後の記述は、
  　次の順である。
  　順次に比例し、
  　外項が互いに素である
  か、または
  　順次に比例せず、
  　外項が互いに素である
  か、または
  　順次に比例し、
  　外項が互いに素でない
  か、または
  　順次に比例せず、
  　外項が互いに素でない
  か
  
• 　場合分けをしようとしている。
• 　本命題の証明には、
  　上記の場合分けは的を外している。
  　本質的には、
  　場合分け２の条件を付けずに
  　場合分け２の中の証明だけで
  　すなわち、
  　（Ｘ）以降
  　（Ｙ）までで、
  　完了している。
  　その証明には、
  　場合分け２の条件は効いていない。
  　

そこでもし
　Ａ、Ｂ、Ｃが順次に比例し、
　外項Ａ、Ｃが互いに素である
ならば、

• 　場合分け４である。
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ（順次に比例）、
  　Ａ⊥Ｃ
  となっている。
  

　それらに対し
　第４の比例項≪数≫を見いだすことは
　不可能である
ことは先に証明された。

• 　命題９ー１７（順次比例で外項が互に素と末項）
  による。
  

次に
　Ａ、Ｂ、Ｃが順次に比例せず、
　外項がふたたび互いに素である
とせよ。

• 　場合分け１である。
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ（順次に比例せず）
  　Ａ⊥Ｃ
  となっている。
  

この場合にも
　それらに対し
　第４の比例項を見いだすことはできない
と主張する。

• 　実は、
  　Ａ＝２、Ｂ＝４、Ｃ＝５
  とすると、
  　場合分け１に該当するが、
  　Ｄ＝１０
  とすると
  　第４の比例項となる。
  
  　推論のギャップは、
  　該当箇所でコメントしている。
  

もし可能ならば、

• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　Ｄが見いだされ、

• 　背理法の仮定である。
• 　数Ｄがあって、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  としている。
  

　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対する
とし、
　ＢがＣが対するように、
　ＤがＥに対する
とせよ。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ
  　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。
• 　Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
  となる数Ｅが存在することも
  　背理法の仮定による
  ことになる。
  
  しかし、
  　Ｂ、Ｄが互いに素である前提は
  　確保できない。
  
  したがって、
  　この場合については
  　推論は成立していない。
  

そうすれば
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＤに対し、
　ＢがＣに対するように、
　ＤがＥに対する
から、
　等間隔比により
　ＡがＣに対するように、
　ＣがＥに対する。

• 　前節、
  　定義５ー１７（等間隔比）
  による。
  
• 　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｅ
  となっている。
  

ところが
　Ａ、Ｃは［互いに］素であり、

• 　場合分け１による。

　［互いに］素である数は最小であり、

• 　前節、
  　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  による。
  

　最小である数は同じ比をもつ数を割り切り、
　前項が前項を、
　後項が後項を割り切り、
　その商は等しい。

• 　前節、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。
  
• 　Ａ｜Ｃ、Ｃ｜Ｅ
  となっている。
  

それゆえ
　前項が前項を、
　すなわち
　ＡがＣを割り切る。

しかも
　Ａは自分白身をも割り切る。

• 　命題７−２の補足２（数は自分自身を割り切る）
  による。
  

したがって
　Ａは
　互いに素であるＡ、Ｃを割り切る。

　これは不可能である。

• 　定義７ー１３（互いに素） による

よって
　Ａ、Ｂ、Ｃに対し
　第４の比例項を見いだすことはできない。

• 　背理法による

次にまた
　Ａ、Ｂ、Ｃが順次に比例し、
　Ａ、Ｃが互いに素でない
とせよ。

• 　場合分け２である。
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ（順次に比例）
  　Ａnot⊥Ｃ
  となっている。
  

　それらに対し
　第４の比例項を見いだすことができる
と主張する。

　　　　　　[......(Ｘ)]

• 　（ｘ）以降
  　（Ｙ）までで
  　命題の証明は完了している。
  　場合分け２の条件は、
  　証明には影響を与えていない。
  

　ＢはＣにかけてＤをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ｂ×Ｃ＝Ｄ
  となっている。
  

そうすれば
　Ａは
　Ｄを割り切るか
　または
　割り切らないか
である。

まず
　割り切る
とし、

• 　場合分け２ー１である。
• 　Ａ｜Ｄ
  となっている
  

　その商をＥ
とせよ。

• 　Ｄ／Ａ＝Ｅ
  となっている。
  

そうすれば
　ＡはＥにかけてＤをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  
• 　Ａ×Ｅ＝Ｄ
  となっている。
  

ところが
　ＢもＣにかけてＤをつくった。

• 　（ａ）による。
• 　Ｂ×Ｃ＝Ｄ
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｅの積はＢ、Ｃの積に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  

それゆえ
　比例し、
　ＡがＢに対するように、
　ＣがＥに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｅ
  となっている。
  

したがって
　Ａ、Ｂ、Ｃに対し
　第４の比例項Ｅが見いだされた。

• 　Ｅ＝Ｂ×Ｃ／Ａ
  となっている。

次に
　ＡがＤを割り切らない
とせよ。

• 　場合分け２ー２である。
• 　Ａnot｜Ｄ
  となっている。
  

　Ａ、 Ｂ、Ｃに対し
　第４の比例項≪数≫を見いだすことはできない
と主張する。

もし可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１−７）
  　参照のこと。
  

　Ｅが見いだされた
とせよ。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｅ
  としている。
  

そうすれば
　Ａ、Ｅの積はＢ、Ｃの積に等しい。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  

ところが
　Ｂ、Ｃの積はＤである。

• 　（ａ）による。

ゆえに
　Ａ、Ｅの積もＤに等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ａ×Ｅ＝Ｄ
  となっている。
  

したがって
　ＡはＥにかけてＤをつくった。

それゆえ
　ＡがＤを割った商はＥである。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｄ／Ａ＝Ｅ
  となっている。
  

ゆえに
　ＡはＤを割り切る。

• 　前節、
  　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
  

ところがまた
　割り切らなくもある。

• 　場合分け２ー２による。

　これは不合理である。

したがって
　ＡがＤを割り切らない
とき、
　Ａ、Ｂ、Ｃに対し
　第４の比例項を見いだすことはできない。

• 　背理法による。

　場合分け２での２つの場合分けが終了
　　　　　　[......(Ｙ)]

• 　（ｘ）以降
  　（Ｙ）までで
  　命題の証明は完了している。
  　場合分け２の条件は、
  　証明には影響を与えていない。
  

次に
　Ａ、Ｂ、Ｃが順次に比例せず、
　外項が互いに素でない
とせよ。

• 　場合分け３である。
• 　Ａ、Ｂ、Ｃ（順次に比例せず）
  　Ａnot⊥Ｃ
  となっている。
  

　ＢがＣにかけてＤをつくる
とせよ。

• 　Ｂ×Ｃ＝Ｄ
  となっている。
  

同様にして

• 　場合分け２と同様にして
  　である。
  

もし
　ＡがＤを割り切れ
ば、
　それらに対し
　第４の比例項を見いだすことができ、
もし
　割り切らなけれ
ば、
　できないことが証明されうる。

• 　場合分けの４つの場合が終了 　である。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　数Ｅを
  　Ｅ＝Ｂ×Ｃ／Ａ
  とできれば、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｅ
  となる第４の比例項になる。
  
• 　本命題の証明を振り返ると、
  　ＡがＢ×Ｃを割り切ることが
  　第４項の存在の必要十分条件となる
  と分かる。
  　順次に比例するかどうか、
  　外項が互いに素かどうかは、
  　命題９−１７を推論に活用するために
  　持ち込まれた
  と考えられる。
  
  以上を考慮すると、
  　本命題は、
  　後世の質の悪い注釈が
  　紛れ込んだものではないか
  と判断される。
  
• 命題９ー１９は、
  　数Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　Ａ｜Ｂ×Ｃ
  のときに限り、
  　Ｅ；Ｂ×Ｃ／Ａ
  をとると、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｅ
  のことである。
  
• 命題９ー１９は構成用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2,(5-17),7-8補,(7-13)
  公準
  公理		1-1
  命題		補4(義7-16),(7-2補2),7-19,(7-20),(7-21),(9-17)
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-7),背理法,場合分け

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