ユークリッド原論をどう読むか(11)
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ユークリッド原論

第7巻
 
命題7ー36構成.3数の最小公倍数)
(3数の最小公倍数は3数の公倍数を割り切る)
(任意個の数の最小公倍数)
 3つのが与えられた
とき、
 それらが割り切る最小を見いだす
こと。




 与えられた3
 A、B、C 
とせよ。

このとき
 それらが割り切る最小
 見いださねばならぬ。

 2A、Bによって
 割り切られる最小Dがとられた
とせよ。
      [......(a)]

そうすれば
 Cは
 Dを割り切る
 あるいは
 割り切らない
である。

まず
 割り切るとせよ。

ところが
 A、Bも
 Dを割り切る

それゆえ
 A、B、Cは
 Dを割り切る

また
 最小でもある
と主張する。

もし
 最小でないならば、
 A、B、Cは
 Dより小さい割り切る
であろう。

 [Dより小さい]Eを割り切る
とせよ。

 A、B、CがEを割り切る
から、

 A、BもEを割り切る

それゆえ
 A、Bに割り切られる最小
 Eを割り切る
であろう。

ところが
 Dは
 A、Bに割り切られる最小である。

ゆえに
 DがEを割り切る

すなわち
 大きい小さい割り切ることになる
であろう。

これは不可能である。

したがって
 A、B、CはDより小さい
 いかなるをも割り切らない
であろう。

 よってDは
 A、B、Cが割り切る最小である。
  •  D;最小公倍数(A,B,C)
    となっている。



    次に.
     CがDを割り切らない
    とし、
     C、Dに割り切られる
     最小Eがとられた
    とせよ。
          [......(b)]

     A、Bは
     Dを割り切り
     DはEを割り切る

    から、
     A、BもEを割り切る

    ところが
     CもEを割り切る

    それゆえ
     A、B、CもEを割り切る

    また
     最小でもある
    と主張する。

    もし
     最小でない
    ならば、

     A、B、Cは
     Eより小さいある割り切る
    であろう。

     [Eより小さい]Fを割り切る
    とせよ。

     A、B、CはFを割り切るから、
     A、BもFを割り切る

    ゆえに
     A、Bに割り切られる最小
     Fを割り切る
    であろう。

    ところが
     DがA、Bに割り切られる最小である。

    したがって
     DはFを割り切る

    ところが
     CもFを割り切る

    それゆえ
     D、CはFを割り切る

    ゆえに
     D、Cに割り切られる最小
     Fを割り切る
    であろう。

    ところが
     EがC、Dに割り切られる最小である。

    したがって
     Eは《D》[F]を割り切る

     すなわち
     大きい小さい割り切る

     これは不可能である。

    それゆえ
     A、B、Cは
     Eより小さいいかなるをも割り切らない
    であろう。

    よって
     EはA、B、Cに割り切られる最小である。

    よって
    [C、Dについての2つの場合の結果から
     A、B、Cに割り切られる最小が見いだされる。]

     これが証明すべきことであった。
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