ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー８（円外の点から円周への線分）　
凹形の弧 (凹形弧をとおる直線は１交点)　
凸形の弧 　 (凸形の弧をとおる直線は１交点)

もし
　円の外部に１点がとられ、
　その点から円周に
　いくつかの線分がひかれ、
　そのうち一つは
　中心を通り
　他は任意であるとすれば、
　凹形の弧にひかれた線分のうち
　中心を通るものは最も大きく、
　他の線分のうち
　中心を通るものに近いものは
　遠いものより常に大きい。
他方
　凸形の弧にひかれた線分のうち
　その点と直径との間のものが最も小さく、
　他の線分のうち
　最も小さいものに近いものは
　遠いものより常に小さく、
　そして
　その点から円周に
　ただ二つの等しい線分が
　最も小さい線分の両側にひかれるであろう。

• 円は定義１ー１５による。
• 点は定義１ー１による。
• 円周は定義１ー１７の補足による。
• 線分は定義の補足（命題１ー１）による。
• 中心は定義１―１６による。
• 弧は定義１―１８の補足による。
• 凹形の弧は、
  　円の外部にとられた点から見て
  　凹形の弧のことである。
  すなわち、
  円周上の点は、
  　　外部の点とむすんだ直線が、
  　円と１点で接するのは
  　命題３ー６の補足４により
  　２つだけであり、
  それ以外の円周上の点は、
  　命題３ー２の補足により、
  　外部の点とむすんだ直線が
  　円周と２点で交わることになる。
  そのうち
  　遠い方がのっている部分の弧のことである。
  （以下、定義の補足（命題３ー８）(凹形の弧)という）
  それは、
  　命題３ー６の補足４により
  　外部の点からひかれた
  　　二接線の
  　接点を結ぶ二つの弧のうち、
  　外部の点から遠い方である。
  したがって、
  　ある点と
  　それからみて凹形の弧の点をとおる直線は、
  　凹形の弧と他の点では交わらない。
  （以下、命題３ー８の補足２(凹形弧をとおる直線は１交点)という）
• 大きいは公理１ー８による。
• 凸形の弧は、
  　円の外部にとられた点から見て
  　凸である弧のことである。
  すなわち、
  円周上の点は、
  　　外部の点とむすんだ直線が、
  　円と１点で接するのは
  　命題３ー６の補足４により
  　２つだけであり、
  それ以外の円周上の点は、
  　命題３ー２の補足により、
  　外部の点とむすんだ直線が
  　円周と２点で交わることになる。
  そのうち
  　近い方がのっている部分の弧のことである。
  （以下、定義の補足３（命題３ー８）(凸形の弧)という）
  それは、
  　命題３ー６の補足４により
  　外部の点からひかれた
  　　二接線の
  　接点を結ぶ二つの弧のうち、
  　外部の点に近い方である。
  したがって、
  　ある点と
  　それからみて凸形の弧の点をとおる直線は、
  　凸形の弧と他の点では交わらない。
  （以下、命題３ー８の補足４ (凸形の弧をとおる直線は１交点)という）
  
• 直径は定義１ー１７による。
• その点と直径との間の線分とは、
  　その点と凹形の弧にひかれた線分のうち
  　中心を通るものから
  　直径に重なる部分を除いたものである。
  
• 小さいは公理１ー８の補足による。
• 等しいは公理１ー７による。

ＡＢＣを円とし、
　円ＡＢＣの外部に点Ｄがとられ、
　それから
　線分ＤＡ、ＤＥ、ＤＦ、ＤＣがひかれ、
［それぞれ凹型の孤とＧ、Ｋ、Ｌ、Ｈで交わり、］
　ＤＡは中心を通るとせよ。
凹形の弧ＡＥＦＣに
　ひかれた線分のうち
　中心を通るＤＡが最も大きく、
　ＤＥはＤＦより、
　ＤＦはＤＣより大きく、
　他方
　凸形の弧ＨＬＫＧに
　ひかれた線分のうち
　その点と直径ＡＧとの間のＤＧが最も小さく、
　最も小さい線分ＤＧに近いものが
　遠いものより常に小さい、
　すなわち
　ＤＫはＤＬより、
　ＤＬはＤＨより小さい
　と主張する。

円ＡＢＣの中心がとられ、
　それをＭとせよ。 【・・・(a)】

• 公準１−１の補足により
  　円の外部に点Ｄがとられ、
  　命題３ー１により
  　円の中心Ｍがとられ、
  　公準１−１により
  　線分ＭＤが結ばれ、
  　命題３−２の補足により
  　線分ＭＤと円周が交点Ｇをもち、 【・・・(a1)】
  　公準１−２により
  　ＭＤがＭの方向に延長され、
  　命題３ー２の補足により
  　この延長と円周が交点Ａをもつ。 【・・・(a2)】
  ＡＧは
  　円の直径となる。
  直径ＡＧによって切り取られた
  　一方の半円について、
  　命題３ー６の補足４により
  　Ｄからひいた半円への接線の接点をＰとする。 【・・・(a3)】
  半径ＭＰについて、
  　Ｄと反対側にある弧ＡＰ上に
  　公準１ー１の補足により
  　点Ｅを任意にとる。
  さらに
  　弧ＥＰ上に点Ｆ、
  　弧ＦＰ上に点Ｃを任意にとり、 【・・・(a4)】
  　公準１−１により
  　ＤＥ、ＤＦ、ＤＣを結ぶ。
  半円ＡＧＨにおいて
  　Ｄを通る接線の接点は
  　命題３ー６の補足４により
  　Ｐのみである。
  半直線ＤＥ、ＤＦ、ＤＣは
  　直線ＡＤについて
  　Ｐと同じ側にあるので、
  　命題３ー２の補足により、
  　半円ＡＧＨと２点で交わる。
  線分ＤＥ、ＤＦ、ＤＣは
  　半径ＭＰについてＤと反対側にある
  　　Ｅ、Ｆ、Ｃとむすんでいるので
  　命題の補足３（定義１ー１４）により
  　ＭＰとＲ、Ｓ、Ｔで交わる。
  再び
  　線分ＤＲ、ＤＳ、ＤＴは
  　円の外部のＤと
  　内部、Ｒ、Ｓ、Ｔをむすんでいるので、
  　命題３−２の補足により、
  　円周とＨ、Ｌ、Ｋで交わる。
  このようにしたとき、
  　Ｅ、Ｆ、Ｃは凹形の弧の上にあり、
  　Ｈ、Ｌ、Ｋは凸形の弧の上にある。
  Ｈ、Ｌ、Ｋは
  　凸形の部分に任意にとった点ではないが、
  　上の手順とは逆に、
  　公準１ー１の補足により、
  　弧ＧＰ上に点Ｋを任意にとり、
  　弧ＫＰ上に点Ｌ、
  　弧ＬＰ上に点Ｈを任意にとり、
  　公準１ー１によりＤＫ、ＤＬ、ＤＨを結び、
  　それぞれ
  　Ｋ、Ｌ、Ｈの方向に延長すると、
  　上記の論証と同様に半径ＫＰと交わり、
  　半円の弧と再び交わることになる。
  それらの交点を
  　順に点Ｅ、Ｆ、Ｃとすればよい。
  　

そして
　ＭＥ、ＭＦ、ＭＣ、ＭＫ、ＭＬ、ＭＨが
　結ばれたとせよ。

• 公準１−１による。

そうすれば、
ＡＭはＥＭに等しいから、

• (a) ,定義１−１５による。

双方に
　ＭＤが加えられたとせよ。
そうすれば
ＡＤは
　ＥＭ、ＭＤの和に等しい。 【・・・(1)】

• 命題の設定 ,公理１−２による。

ところが
ＥＭ、ＭＤの和は
　ＥＤより大きい。

• 命題１−２０による。

ゆえに
ＡＤも
　ＥＤより大きい。 【・・・(2)】

• (1) ,公理１−８の補足２による。
• Ｅは、
  　Ａ以外の凹の部分に
  　任意にとられた点であるから、
  　ＡＤが最も大きいことになる。

また
ＭＥは
　ＭＦに等しく、

• (a) ,定義１−１５による。

ＭＤは
　共通であるから、
ＥＭ、ＭＤの和は
　ＦＭ、ＭＤの和に等しい。 【・・・(3)】

• 後半の部分は、
  　「２辺ＥＭ、ＭＤは
  　２辺ＦＭ、ＭＤに等しい」
  　の間違いであろうが、
  　英文の
  　Euclid's Elements（Professor D.E.Joyce　Clark University）
  　においても、
  　two sides という表現が
  　命題３ー７にはあるが
  　命題３ー８にはないので、
  　誤訳ではなく、
  　原典そのものにおいても
  　このようになっていたものと考えられる。

そして
角ＥＭＤは
　角ＦＭＤより大きい。

• (a4) ,公理１−８による。

それゆえ
底辺ＥＤは
　ＦＤより大きい。

• 命題１−２４による。

同様にして、
　ＦＤがＣＤより大きいことも証明しうる。 【・・・(4)】
ゆえに
ＤＡは
　最も大きく、 ＤＥは
　ＤＦより、
　ＤＦはＤＣより大きい。

• (2) (3) (4) による。
• このままでは、
  　中心を通るものに近いものが
  　遠いものより常に大きい
  　という部分が欠落する。
  中心を通るものに
  　近いとか遠いとかは
  　命題３ー７の中の解説を参照のこと。
  この部分は
  　次のように証明される。
  命題３ー８の補足２により
  　Ｅは弧ＡＦ上にあるので、
  　直線ＤＦについて、
  　Ａと同じ側にあり、
  また、
  　直線ＤＡについて、
  　Ｆと同じ側にあるので、
  　線分ＤＥは、角ＦＤＡの内部にある。
  したがって、
  ＤＥは
  　ＤＦより中心を通るＤＡに近い。
  同様に
  ＤＦは
  　ＤＣよりＤＡに近いことが証明される。

次に
ＭＫ、ＫＤの和はＭＤより大きく、

• 命題１ー２０による。

ＭＧは
　ＭＫに等しいから、

• 定義１ー１５による。

残りのＫＤは
　残りのＧＤより大きい。

• 公理１ー４の補足２による。

それゆえ
ＧＤは
　ＫＤより小さい。 【・・・(5)】

• 公理１ー８の補足による。

そして
　三角形ＭＬＤの
　 辺の一つＭＤの上に
　三角形の内部で交わる
　２線分ＭＫ、ＫＤが
　つくられたから、

• Ｋが三角形ＭＬＤの内部であることは
  　次のように証明される。
  弧ＬＧ上にＫがあるので、
  　公理１ー８により
  　角ＬＭＤの内部に線分ＭＫがある。
  また、
  　命題３ー８の補足４により、
  　Ｋは直線ＤＬについて、
  　Ｍと同じ側にあるので、
  　角ＬＤＭの内部に線分ＤＫがある。
  よって
  　Ｋは三角形ＭＬＤの内部にある。
  

ＭＫ、ＫＤの和は
　ＭＬ、ＬＤの和より小さい。

• 命題１ー２１による。

ところが
　ＭＫはＭＬに等しい。

• 定義１ー１５による。

ゆえに
　残りのＤＫは
　ＤＬより小さい。

• 公理１ー４の補足２による。

同様にして
　ＤＬも
　ＤＨより小さいことを証明しうる。 【・・・(6)】
したがって
　ＤＧは最も小さく、
　ＤＫはＤＬより、
　ＤＬはＤＨより小さい。

• (5) (6) による。
• 「ＤＡは最も大きく、
  　ＤＥはＤＦより、
  　ＤＦはＤＣより大きい。」
  　を証明した後の補足と同様に、
  　最も小さいもの
  　 ＤＧに近いものが
  　遠いものより
  　常に小さいことが残されている。
  ただ、
  　Ｋは三角形ＭＬＤの内部にあり、
  　ＤＫは
  　ＤＬよりＤＧに近い
  　ことが直ちに確認できる。
  同様に
  　ＤＬはＤＨよりＤＧに近い
  　ことが分かる。
• 前半部分と合わせると、
  　点Ｄと半円上の点Ｎとを結んだ線分は、
  　ＮがＧにあるとき最も小さく、
  　凸形の弧をＭに進むにしたがって大きくなり、
  　さらに
  　凹形の弧をＭからＡに進むにしたがって大きくなり、
  　Ａにあるとき最も大きくなる。 【・・・(101)】

また
　点Ｄから円周に
　ただ二つの等しい線分が
　最も小さい線分ＤＧの両側に
　ひかれるであろうと主張する。

線分ＭＤ上に
　その上の点Ｍにおいて
　角ＫＭＤに等しい
　 角ＤＭＢがつくられ、 【・・・(b)】

• 直線ＭＤについて
  　Ｋと反対側にＢがあるように、
  　命題１ー２３により
  　角ＤＭＢをつくり、
  　線分ＭＢが半径より小さければ
  　公準１ー２により
  　線分ＭＢをＢの方向に延長すると、
  　命題３ー２の補足により
  　円周と１点で交わる。
  　この交点を改めてＢとする。

ＤＢが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１による。

そうすれば
　ＭＫはＭＢに等しく、

• (a) ,定義１ー１５による。

ＭＤは共通であるから、
　２辺ＫＭ、ＭＤは
　２辺ＢＭ、ＭＤにそれぞれ等しい。
そして
　角ＫＭＤは角ＢＭＤに等しい。

• (b) 作図の設定による。

それゆえ
　底辺ＤＫは底辺ＤＢに等しい。 【・・・(7)】

• 命題１ー４による。
• 原論では
  　弧の凸の部分にひかれる線分のみに
  　言及しているが、
  　接線や
  　凹の部分にひかれる線分においても
  　同様に証明される。

点Ｄから
　円周にＤＫに
　等しい他のいかなる線分も
　ひかれないであろうと主張する。
　
もし可能ならば、

• 線分が
  　ひかれ得る円周上の点は、
  　凸形の弧の部分と
  　凹形の弧の部分と
  　接点である。
• 「もし可能ならば」は、
  コメント２(命題１−７）参照のこと。

［まず凸形の弧の部分に、
　ＤＫに等しい］線分がひかれたとし、
　それをＤＮとせよ。【・・・(c)】

• 背理法の仮定である。

そうすれば
　ＤＫはＤＮに等しく、

• 背理法の仮定による。

他方、
　ＤＫはＤＢに等しいから、

• (7) による。

ＤＢもＤＮに等しい、

• 公理１ー１による。

すなわち
　最も小さい線分ＤＧに近いものが
　遠いものに等しい。
　これは不可能であることが証明された。

• (101) による。
• Ｎが直線ＤＡについて
  　Ｋと同じ側か
  　Ｂと同じ側か
  　いずれかである。
  いずれにしても、
  　ＫあるいはＢと異なる位置であれば、
  　一方がＤＧに近く
  　他方がＤＧから遠いことになる。
  (101) により、
  　このことが従う。

［次に
　接点となる部分
　あるいは
　凹形の弧となる部分に
　線分がひかれたとすると、
　この線分は
　(101) により、
　凸の部分にひかれた線分より大きくなる。］

• ［　］の部分は原論には記載がない。
• 凹形の弧にひかれた線分についても、
  　それに等しい線分は、
  　線分ＤＡについて
  　反対側にひかれる１本を除いて
  　他のいかなる線分もひかれないことが
  　同様にして証明される。
• Ｄからひかれる
  　二つの接線が等しい
  　ことは命題３ー６の補足４による。

それゆえ
　点Ｄから円ＡＢＣに
　最も小さいＤＧの両側に
　二つより多い等しい線分は
　ひかれないであろう。

• 以上で、
  　背理法により
  　円外の点から円周の凸の部分に
  　ひかれた線分で等しいものは
  　ただ２本であることが証明されたわけである。

よってもし
　円の外部に１点がとられ、
　その点から円周に
　いくつかの線分がひかれ、
　そのうち一つは
　中心を通り
　他は任意であるとすれば、
　凹形の弧にひかれた線分のうち
　中心を通るものは最も大きく、
　他の線分のうち
　中心を通るものに近いものは
　遠いものより常に大きい。
他方
　凸形の弧にひかれた線分のうち
　その点と直径との間のものが最も小さく、
　他の線分のうち、
　最も小さいものに近いものは
　遠いものより常に小さく、
　そして
　その点から円周に
　ただ二つの等しい線分が
　最も小さい線分の
　両側にひかれるであろう。

これが証明すべきことであった。

• 命題３ー８の補足２(凹形弧をとおる直線は１交点)は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	3-6補4	3-2補
  その他

  
  
• 命題３ー８の補足４(凸形の弧をとおる直線は１交点)は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	3-6補4	3-2補
  その他

• 命題３ー８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1,1-2,1-4補2,1-8,1-8補,1-8補2
  命題	補3(義1-14),1-23,3-1,3-2補,3-6補4	1-4,1-20,1-21,1-24,3-8補2,3-8補4
  その他		背理法,コ2(題1-7)、場合分け

  
  

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