ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー９（円内の点から円周への線分２）
もし
　円の内部に１点がとられ、
　その点から円［周］に
　二つより多い等しい線分がひかれるならば、
とられた点は
　円の中心である。

• 円は、定義１ー１５による。
• 点は、定義１ー１による。
• 円周は、定義１ー１７の補足による。
• 等しいは、公理１ー７による。
• 線分は、定義の補足（命題１ー１）による。
• 円の中心は、定義１ー１６による。

ＡＢＣを円、
　Ｄをその内部の点とし、
　Ｄから円ＡＢＣに
　二つより多い等しい
　　線分ＤＡ、ＤＢ、ＤＣがひかれたとせよ。
点Ｄは
　円ＡＢＣの中心であると主張する。

• 命題の仮定により、
  　円の内部に点Ｄが、
  　円周上に点Ａ、Ｂ、Ｃがあり、
  　公準１ー１（作図.直線） により、
  　ＤとＡと、
  　ＤとＢと、
  　ＤとＣとを結ぶと、
  　線分ＤＡ、ＤＢ、ＤＣが互いに等しい。
• 　円ＡＢＣ　
  に対して、　
  　点Ｄ[内.円ＡＢＣ]、　
  　点Ａ、Ｂ、Ｃ[円ＡＢＣ;;ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ]　
  をとっている。

ＡＢ、ＢＣが結ばれ、

• 公準１ー１（作図.直線）による。
• 　線分ＡＢ、ＢＣ
  をとっている。

点Ｅ、Ｆにおいて
　［それぞれ］２等分され、 【・・・(a)】

• 命題１ー１０（作図・線分の２等分）による。
• 　中点Ｅ(ＡＢ)、
  　中点Ｆ(ＢＣ)
  となっている。

ＥＤ、ＦＤが結ばれ、

• 公準１ー１（作図.直線）による。
• 　線分ＥＤ、ＦＤ
  をとっている。

点Ｇ、Ｋ、Ｈ、Ｌまで
　延長されたとせよ。

• 命題３ー２の補足(円内通過直線は円周と２交点) により、
  直線ＥＤ、ＦＤは
  　円周と２点でそれぞれ交わる。
  交点をＧ、Ｋ、Ｈ、Ｌとしている。
• 　交点Ｇ(延長ＤＥ,円ＡＢＣ)、
  　交点Ｋ(延長ＥＤ,円ＡＢＣ)、
  　交点Ｈ(延長ＤＦ,円ＡＢＣ)、
  　交点Ｌ(延長ＦＤ,円ＡＢＣ)、
  をとっている。

そうすれば、
　ＡＥはＥＢに等しく、

• (a) である。
• 　ＡＥ＝ＥＢ
  となっている。

ＥＤは共通であるから、
　２辺ＡＥ、ＥＤは
　２辺ＢＥ、ＥＤに等しい。
そして、
　底辺ＤＡは底辺ＤＢに等しい。

• 定義１ー１５（円） による。
• 　(ＡＥ、ＥＤ)＝(ＢＥ、ＥＤ)
  　ＤＡ＝ＤＢ
  となっている。

それゆえ
　角ＡＥＤは角ＢＥＤに等しい。

• 命題１ー４（２辺挟角相等）による。
• 　∠ＡＥＤ＝∠ＢＥＤ
  となっている。

ゆえに
　角ＡＥＤ、ＢＥＤの双方は直角である。

• 定義１ー１０（直角） による。
• 　∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＤ＝∠Ｒ
  となっている。

したがって
　ＧＫはＡＢを直角に２等分する。

• 　ＧＫ;垂直２等分.ＡＢ
  となっている。

そしてもし
　円において
　直線が直線［弦］を直角に２等分するならば、
　円の中心は
　分割する直線上にあるから、
　円の中心はＧＫの上にある。

• 命題３ー１の系(中心は弦の２等分線上) による。
• 　中心.円ＡＢＣ;上.線分ＧＫ
  となっている。

同じ理由で
　円のＡＢＣの中心は
　ＨＬの上にもある。

• 　中心.円ＡＢＣ;上.線分ＨＬ
  となっている。

そして
　弦ＧＫ、ＨＬは
　点Ｄ以外の点を共有しない。

• もし
  　Ｄ以外に共有する点を持てば、
  　公理１ー９（２点を通る直線は一致） により
  　ＧＫとＨＬは一致し、
  　Ｅ、Ｆが同一の直径ＧＫ上にあることになる。
  　Ｅ、ＦはＡＢ、ＢＣの中点だから
  　命題３ー３（直径と弦） により、
  　ＡＢ、ＢＣはＧＫと直角に交わり、
  　命題１ー１２の補足（垂線は唯一） により
  　ＢからＧＫにおろした垂線は唯一であるので、
  　ＡＢ、ＢＣは同一直線上にあり、
  　命題３ー２の補足(円内通過直線は円周と２交点) により、
  　円の内部をとおる直線と
  　　円周との交点は２つであるから、
  　点Ａ、Ｂ、Ｃが異なる点であるのであり得ない。
• 　交点(ＧＫ,ＨＬ);唯一Ｄ
  となっている。

したがって
　点Ｄは
　円ＡＢＣの中心である。

• 　Ｄ;中心.円ＡＢＣ
  となっている。

よってもし
　円の内部に１点がとられ、
　その点から円［周］に
　二つより多い等しい線分がひかれるならば、
　とられた点は円の中心である。

これが証明すべきことであった。

• 命題３ー７（円内の点から円周への線分１） により、
  　中心以外の点からは、
  　円周への等しい線分は２つしかない。
  中心からは
  　円周への線分は全て等しい。
  したがって、
  　この命題が成立すると証明することもできる。
• 命題３ー９は、
  　円ＡＢＣ　
  に対して、
  　点Ｄ[内.円ＡＢＣ]、　
  　点Ａ、Ｂ、Ｃ[円ＡＢＣ;;ＡＤ＝ＢＤ＝ＣＤ]　
  ならば、
  　Ｄ;中心.円ＡＢＣ
  のことである。
  
• 命題３ー９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-10 ,1-15
  公準	1-1
  公理		1-9
  命題	1-10 ,3-2補	1-4 ,1-12補,3-1系,3-2補 ,3-3
  その他

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