ユークリッド原論をどう読むか（５）
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（５）はじめに

今回は、第２巻である。
第１巻とは趣が変わる。
新たな定義は２つしかない。
　１つは、２線分でかこまれる矩形（長方形）で、
　もう１つはグノーモーンである。
ある意味、これは、第２巻を象徴している。
この巻で扱う内容は、
　線分を２分割したり、
　追加したりしたものを
　　隣り合う２辺とする矩形（長方形）や
　　一辺とする正方形の
　面積における関係である。
グノーモーンは、
　この巻の命題に即して端的にいえば、
　正方形を
　２つの正方形と２つの合同な長方形に分割したとき、
　１つの正方形を除いた部分である。
矩形をグノーモーンに等積変形することが登場する。
線分を用いた代数という印象を受ける。
本質的には、
　分配則、
　２項の和・差の平方、
　和と差との積、
　和の平方と差の平方との和・差
　などの面積図による証明である。
しかし、
　目標は代数ではない。
あくまで、最後の方にある
　一般の三角形における
　３辺上の正方形の関係
　　（いわゆる余弦定理）の証明
　や
　長方形に等しい面積をもつ正方形の作図
　などにある。
論証のスタイルも、
　命題２ー８までは第１巻とは異なる。
証明済みの命題を用いて論証するというより、
　それぞれ初めから
　面積図の作図をおこなって
　証明している。
なお、
　本論考では
　対応する文字式表現の推論を付加している。
そこでは、
　公理１ー１、１ー２を
　　読み比べたら分かるように
　原論が
　　「同じ」と「等しい」を
　　区別しているのに対応して、
　公理を補足するとともに、
　式表現を工夫している。

付加した論証を進めてみると、
　文字式表現の威力を痛感する。
式表現技術という点では
　明かにユークリッドの時代より進んでいる｡
また、
　証明済みの命題を用いた論証も付加している。
こちらについても、
　対応する文字式表現の推論を付加している。
命題２ー９、２ー１０は
　独特の位置をもつ。
線分上の正方形の面積を扱うという点では、
　命題２ー８までと同じだが、
　証明は、
　面積図に拠らない。
第１巻の論証の雰囲気に一気にもどる。
なお、
　これらについても、
　本論考では
　証明済みの命題を用いた論証を付加している。
命題２ー１１、２ー１４は、
　今日的に言えば、本質的には、
　代数方程式の解を求めるものであり、
　面積図の作図で解決するものではない。
そこでは、
　命題２ー５、２ー６と
　円、三平方の定理の活躍場面となる。
命題２ー１１は、
　正５角形の作図に関係する。
また、
　いわゆる余弦定理である命題２ー１２、２ー１３の証明も
　面積図の作図では無理がある。
そこでは、
　命題２ー４、２ー７と三平方の定理の活躍場面となる。
以上、第２巻の俯瞰を参考にされると、
　読み進めて行きやすいと思われる。
なお、
　本文を読むに当たって、
　次のことに留意いただきたい。
第２巻にあたり、繰り返しておく。


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