ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論
第２巻
命題２ー１２（鈍角三角形の余弦定理）
「任意」
鈍角三角形において
鈍角の対辺の上の正方形
は
鈍角をはさむ２辺の上の正方形の和
より、
鈍角をはさむ辺の一つと、
この辺へと垂線が下され、
この鈍角への垂線によって
外部に切り取られた線分と
にかこまれた矩形の２倍だけ大きい。
ＡＢＣを
鈍角ＢＡＣをもつ鈍角三角形
とし、
点Ｂから
ＣＡに垂線ＢＤがひかれた
とせよ。
-
命題１ー１２（作図・線分への垂線）
による。
-
△ＡＢＣ；△（∠Ａ＞∠Ｒ）、
Ｄ；点（ＣＡの延長上、ＢＤ⊥ＣＡ）
のことである。
ＢＣ上の正方形
は
ＢＡ、ＡＣ上の正方形の和より
ＣＡ、ＡＤにかこまれた矩形の２倍だけ大きい
と主張する。
線分ＣＤ
は
点Ａにおいて任意に分けられた
-
「任意に」
という表現は
直後の推論に用いる命題２ー４の表現に
合わせた
ためであろう。
証明の途上に現れる「任意」
は、
このような場合が多い。
「任意」の意味を理解しない
後世の解説者のコメントが
紛れ込んだ
と考えられる。
(以下、コメント（命題２ー１２）(任意)という。)
-
命題の設定による。
-
Ａ；点（ＣＤ）
となっている。
から、
ＤＣ上の正方形
は
ＣＡ、ＡＤ上の正方形と
ＣＡ、ＡＤにかこまれた矩形の２倍と
の和に等しい。
-
前節、
命題２ー４（２分線分上の正方形）
による。
-
sq(_ＤＣ)＝sq(_ＣＡ)＋sq(_ＡＤ)＋２×rec(ＣＡ、ＡＤ)
となっている。
双方に
ＤＢ上の正方形が加えられた
とせよ。
そうすれば
ＣＤ、ＤＢ上の正方形の和
は
ＣＡ、ＡＤ、ＤＢ上の正方形と
矩形ＣＡ、ＡＤの２倍と
の和に等しい。
-
前節、前々節、
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
sq(_ＤＣ)＋sq(_ＤＢ)
＝sq(_ＣＡ)＋sq(_ＡＤ)＋sq(_ＤＢ)
＋２×rec(ＣＡ、ＡＤ)
となっている。
ところが
Ｄにおける角
は
直角である
から、
ＣＢ上の正方形
は
ＣＤ、ＤＢ上の正方形
の和に等しい。
-
前節、
命題１ー４７（三平方の定理）
による。
-
sq(_ＤＣ)＋sq(_ＤＢ)＝sq(_ＣＢ)
となっている。
［ゆえに
ＣＢ上の正方形
は
ＣＡ、ＡＤ、ＤＢ上の正方形と
矩形ＣＡ、ＡＤの２倍と
の和に等しい。］
-
前節、前々々節、
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
sq(_ＣＢ)
＝sq(_ＣＡ)＋sq(_ＡＤ)＋sq(_ＤＢ)
＋２×rec(ＣＡ、ＡＤ)
となっている。
そして
ＡＢ上の正方形
は
ＡＤ、ＤＢ上の正方形
の和に等しい。
-
命題の設定
、
命題１ー４７（三平方の定理）
による。
-
sq(_ＡＢ)＝sq(_ＡＤ)＋sq(_ＤＢ)
となっている。
ゆえに
ＣＢ上の正方形
は
ＣＡ、ＡＢ上の正方形と
ＣＡ、ＡＤによってかこまれた矩形の２倍と
の和に等しい。
-
前節、前々節、
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
sq(_ＣＢ)＝sq(_ＣＡ)＋sq(_ＡＢ)＋２×rec(ＣＡ、ＡＤ)
となっている。
したがって
ＣＢ上の正方形
は
ＣＡ、ＡＢ上の正方形の和より
ＣＡ、ＡＤにかこまれた矩形の２倍
だけ大きい。
よって
鈍角三角形において
鈍角の対辺の上の正方形
は
鈍角をはさむ２辺の上の正方形
の和より、
鈍角をはさむ辺の一つと、
この辺へと垂線が下され、
この鈍角への垂線によって
外部に切り取られた線分と
にかこまれた矩形の２倍
だけ大きい。
これが証明すべきことであった。
- いわゆる
余弦定理の鈍角三角形の場合である。
-
△ＡＢＣ；△（∠Ａ＞∠Ｒ）
に対して、
Ｄ；点（ＣＡの延長上、ＢＤ⊥ＣＡ）
をとれば、
sq(_ＣＢ)
＝sq(_ＣＡ)＋sq(_ＡＢ)
＋２×rec(ＣＡ、ＡＤ)
のことである。
- 命題2-12は推論用命題である。
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