ユークリッド原論をどう読むか（５）
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ユークリッド原論
第２巻
命題２ー１３（鋭角三角形の余弦定理）
鋭角三角形において
鋭角の対辺の上の正方形
は
鋭角をはさむ２辺の上の正方形の和より、
鋭角をはさむ辺の一つと、
この辺へと垂線が下され、
この鋭角への垂線によって
内部に切り取られた線分とに
かこまれた矩形の２倍だけ小さい。
ＡＢＣを
Ｂに鋭角をもつ鋭角三角形
とし、
点Ａから
ＢＣに垂線ＡＤがひかれた
とせよ。
- 命題１ー１２（作図・線分への垂線）
による。
-
△ＡＢＣ（;;∠Ｂ＜∠Ｒ）、
点Ｄ（ＢＣ、ＡＤ⊥ＢＣ）
をとる。
ＡＣ上の正方形
は
ＣＢ、ＢＡ上の正方形
の和より
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍
だけ小さい
と主張する。
線分ＣＢ
は
Ｄにおいて任意に分けられた
から、
ＣＢ、ＢＤ上の正方形の和
は
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍と
ＤＣ上の正方形と
の和に等しい。
-
前節、
命題２―７（差の平方）
による。
-
正方(_ＣＢ)＋正方(_ＢＤ)
＝２×矩形(ＣＢ、ＢＤ)＋正方(_ＤＣ)
となっている。
双方に
ＤＡ上の正方形が加えられた
とせよ。
そうすれば
ＣＢ、ＢＤ、ＤＡ上の正方形の和
は
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍と
ＡＤ、ＤＣ上の正方形と
の和に等しい。
【・・・(1)】
-
前節、
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
正方(_ＣＢ)＋正方(_ＢＤ)＋正方(_ＤＡ)
＝２×矩形(ＣＢ、ＢＤ)
＋正方(_ＤＣ)＋正方(_ＤＡ)
となっている。
ところが［一方では］
Ｄにおける角
は
直角である
から、
ＡＢ上の正方形
は
ＢＤ、ＤＡ上の正方形の和に等しい。
-
前節、
命題１ー４７（三平方の定理）
による。
-
正方(_ＢＤ)＋正方(_ＤＡ)＝正方(_ＡＢ)
となっている。
［よって、
ＣＢ、ＢＤ、ＤＡ上の正方形の和
は
ＣＢ、ＡＢ上の正方形の和に等しい。］
【・・・(2)】
-
前節、前々々節、
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
正方(_ＣＢ)＋正方(_ＢＤ)＋正方(_ＤＡ)
＝正方(_ＣＢ)＋正方(_ＡＢ)
となっている。
そして［他方では］
ＡＣ上の正方形
は
ＡＤ、ＤＣ上の正方形
の和に等しい。
-
命題の設定、
命題１ー４７（三平方の定理）
による。
-
正方(_ＤＣ)＋正方(_ＤＡ)＝正方(_ＡＣ)
となっている。
［双方に
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍を加えられた
とせよ。
そうすれば、
ＡＤ、ＤＣ上の正方形と
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍との和
は、
ＡＣ上の正方形と
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍と
の和に等しい。
-
前節、
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。］
-
正方(_ＤＣ)＋正方(_ＤＡ)
＋２×矩形(_ＣＢ、ＢＤ)
＝正方(_ＡＣ)＋２×矩形(_ＣＢ、ＢＤ)
となっている。
ゆえに
ＣＢ、ＢＡ上の正方形の和
は
ＡＣ上の正方形と
≪方形≫［矩形］ＣＢ、ＢＤの２倍と
の和に等しい。
-
前節、(1) 、(2) 、
公理１ー１の補足（等しいものに等しい）
による。
-
正方(_ＣＢ)＋正方(_ＡＢ)
＝正方(_ＡＣ)＋２×矩形(ＣＢ、ＢＤ)
となっている。
したがって
ＡＣ上の正方形のみ
では
ＣＢ、ＢＡ上の正方形［
の和］より
ＣＢ、ＢＤにかこまれた矩形の２倍
だけ小さい。
よって
鋭角三角形において
鋭角の対辺の上の正方形
は
鋭角をはさむ２辺の上の正方形
の和より、
鋭角をはさむ辺の一つと、
この辺へと垂線が下され、
この鋭角への垂線によって
内部に切り取られた線分とに
かこまれた矩形の２倍
だけ小さい。
これが証明すべきことであった。
- いわゆる余弦定理の鋭角三角形の場合である。
- 命題2-13は、
△ＡＢＣ（;;∠Ｂ＜∠Ｒ）
に対して、
点Ｄ（ＢＣ、ＡＤ⊥ＢＣ）
をとれば、
正方(_ＣＢ)
＝正方(_ＣＡ)＋正方(_ＡＢ)
ー２×矩形(ＣＡ、ＡＤ)
のことである。
- 命題2-13は推論用命題である。
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