ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論
第１１巻
命題１１ー４（交わる２直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直）
(作図.交わる２直線の交点を通る、２直線に垂直な直線)
もし
一つの直線が
互いに交わる２直線に対し
それらの交点において
垂直に立てられた
ならば，
それらを通る
平面に対しても
垂直であろう。
任意の線分ＥＦが
点Ｅにおいて
互いに交わる
２線分ＡＢ,ＣＤに対し
Ｅから垂直に立てられた
とせよ。
-
実際に
この垂線を
とることは、
この段階ではできない。
仮想的に、
とれたとして、
推論を進めている。
いわゆる、
幾何学的解析である。
この命題を用いた、
命題１１ー４の補足(作図.交わる２直線の交点を通る、２直線に垂直な直線)
により、
実際に
この垂線を
とることができる。
-
ＥＦ⊥ＡＢ、
ＥＦ⊥ＣＤ
となっている。
ＥＦは
ＡＢ,ＣＤを通る平面に対しても
垂直である
と主張する。
ＡＥ,ＥＢ,ＣＥ,ＥＤが
互いに等しく切りとられ，
Ｅを通り，
任意の線分ＧＥＨが
ひかれ，
ＡＤ,ＣＢが
結ばれ，
さらに
任意の点Ｆから
ＦＡ,ＦＧ,ＦＤ,ＦＣ,ＦＨ,ＦＢが
結ばれた
とせよ。
[......(１)]
-
命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
により、
Ｂ'（ＥＢ；ＥＢ'＝ＥＡ）、
Ｄ'（ＥＤ；ＥＤ'＝ＥＣ）、
をとり、
改めて、
それぞれをＢ、Ｄとしている。
-
ＡＥ＝ＥＢ、
ＣＥ＝ＥＤ
となっている。
そうすれば
２線分ＡＥ,ＥＤは
２線分ＣＥ,ＥＢに等しく，
等しい角をはさむ
-
前節、
命題１ー１５（対頂角）
による。
-
ＡＥ＝ＣＥ、
ＥＤ＝ＥＢ、
∠ＡＥＤ＝∠ＣＥＢ
となっている。
から，
底辺ＡＤは
底辺ＣＢに等しく，
三角形ＡＥＤは
三角形ＣＥＢに等しいであろう。
[......(２)]
-
前節、
命題１ー４（２辺挟角相等）
による。
-
ＡＤ＝ＣＢ、
△ＡＥＤ≡△ＣＥＢ
となっている。
それゆえ
角ＤＡＥも
角ＥＢＣに等しい。
ところが
角ＡＥＧも
角ＢＥＨに等しい。
-
命題１ー１５（対頂角）
による。
-
∠ＡＥＧ＝∠ＢＥＨ
となっている。
ゆえに
ＡＧＥ,ＢＥＨは
２角が
２角にそれぞれ等しく，
1辺が
1辺に，
すなわち
等しい２角にはさまれる辺ＡＥが
ＥＢに等しい
二つの三角形である。
-
前節、前々節、
（１）による。
-
∠ＡＥＧ＝∠ＢＥＨ、
∠ＤＡＥ＝∠ＥＢＣ
ＡＥ＝ＢＥ
となっている。
したがって
残りの辺も
残りの辺に等しい
であろう。
-
前節、
命題１ー２６（２角挟辺相等）
による。
-
ＥＧ＝ＥＨ、
ＧＡ＝ＨＢ、
∠ＥＧＡ＝∠ＥＨＢ
となっている。
それゆえ
ＧＥは
ＥＨに，
ＡＧは
ＢＨに等しい。
[......(３)]
-
前節による。
-
ＧＥ＝ＥＨ、
ＡＧ＝ＨＢ、
となっている。
そして
ＡＥは
ＥＢに等しく，
ＦＥは
共通でかつ垂直である
-
命題の設定、
（１）による。
-
ＡＥ＝ＥＢ、
ＦＥ；共通、⊥ＡＢ
となっている。
から，
底辺ＦＡは
底辺ＦＢに等しい。
[......(４)]
-
前節、
命題１ー４（２辺挟角相等）
による。
-
ＦＡ＝ＦＢ
となっている。
同じ理由で
ＦＣも
ＦＤに等しい。
-
前節、
（１）
による。
-
ＦＣ＝ＦＤ
となっている。
そして
ＡＤは
ＣＢに等しく，
ＦＡも
ＦＢに等しい
-
（２）
による。
-
ＡＤ＝ＣＢ、
ＦＡ＝ＦＢ
となっている。
から，
２辺ＦＡ，ＡＤは２辺 ＦＢ,ＢＣにそれぞれ等しい。
そして
底辺ＦＤが
底辺ＦＣに等しい
ことは先に証明された。
-
前節、前々節
による。
-
ＦＡ＝ＦＢ、
ＡＤ＝ＢＣ、
ＦＤ＝ＦＣ
となっている。
ゆえに
角ＦＡＤも
角ＦＢＣに等しい。
-
前節、
命題１ー８（３辺相等２）
による。
-
∠ＦＡＤ＝∠ＦＢＣ
となっている。
そしてまた
ＡＧが
ＢＨに等しい
ことは証明され，
他方ＦＡは
ＦＢに等しい
から，
２辺ＦＡ,ＡＧは
２辺ＦＢ,ＢＨに等しい。
そして
角ＦＡＧは
角ＦＢＨに等しい
ことが証明された。
-
前節、前々々節による。
-
ＦＡ＝ＦＢ、
ＡＧ＝ＢＨ、
∠ＦＡＧ＝∠ＦＢＨ
となっている。
したがって
底辺ＦＧは
底辺ＦＨに等しい。
-
前節、
命題１ー４（２辺挟角相等）
による。
-
ＦＧ＝ＦＨ
となっている。
そしてまた
ＧＥは
ＥＨに等しい
ことが証明され，
ＥＦは
共通である
-
（３）
による。
-
ＧＥ＝ＥＨ、
ＥＦ；共通
となっている。
から，
２辺ＧＥ,ＥＦは
２辺ＨＥ,ＥＦに等しい。
-
前節による。
-
ＧＥ＝ＨＥ、
ＥＦ＝ＥＦ
となっている。
そして
底辺ＦＧは
底辺ＦＨに等しい。
それゆえ
角ＧＥＦは
角ＨＥＦに等しい。
-
前節、前々節、
命題１ー８（３辺相等２）
による。
-
∠ＧＥＦ＝∠ＨＥＦ
となっている。
ゆえに
角ＧＥＦ,ＨＥＦの双方は
直角である。
-
前節、
命題１ー１３（直線と２直角１）
による。
-
∠ＧＥＦ＝∠ＨＥＦ＝∠Ｒ
となっている。
したがって
ＦＥは
Ｅを通って任意にひかれた
線分ＧＨに対し垂直である。
-
∠ＡＥＤの間にＥＧがとられる場合について、
論証している。
-
ＦＥ⊥ＧＨ
となっている。
同様にして
ＦＥは
それと会し，
かつ
基準平面上にある
すべての線分に対しても
垂直である
ことを証明しうる。
-
∠ＡＥＣの間にＥＧがとられる場合についても、
同様である
ことを主張している。
-
ＥＦ⊥ＸＹ（基準平面；ＥＦ（交わる）ＥＦ）
となっている。
ところで
直線は
それと会し
かつ
一平面上にある
すベての直線に対し
垂直である
とき，
平面に対し垂直である。
それゆえ
ＦＥは
基準平面に対し垂直である。
-
前節、前々節
による。
-
ＥＦ⊥基準平面
となっている。
ところが
基準平面は
線分ＡＢ,ＣＤを通る平面である。
-
基準平面という表現は、
論証のかなり後半に出てくる。
意味的には、
今論じている平面ということである。
-
基準平面；平面（ＡＢ、ＣＤ；交点Ｅ（ＡＢ、ＣＤ））
となっている。
したがって
ＦＥは
ＡＢ,ＣＤを通る平面に対し垂直である。
-
前節、前々節
による。
-
ＦＥ⊥平面（ＡＢ、ＣＤ；交点Ｅ（ＡＢ、ＣＤ））
となっている。
よって
もし
一つの直線が
二つの互いに交わる
直線に対し
それらの交点において
垂直に立てられた
ならば，
それらを通る
平面に対しても
垂直であろう。
これが証明すべきことであった。
-
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
により、
Ｅで交わる２直線ＡＢ、ＣＤが
含まれている
基準平面
をとる。
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
基準平面外の点Ｚ
をとる。
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
により、
ＺとＡＢが
含まれている
平面ＺＡＢ
をとる。
[......(５)]
命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
により、
Ｅを通る、
ＡＢからの垂線
をとる。
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
この垂線上に点Ｙ
をとると、
ＡＢ⊥ＥＹ
となっている。
同様に
平面ＸＡＢと点Ｗ
をとると、
ＡＢ⊥ＥＷ
となっている。
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
により、
平面ＥＷＹ
をとる。
命題１１ー４（交わる２直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直）
ＡＢは
Ｅを通る平面ＥＷＹ上の直線と垂直
となる。
（５）以降の推論で、
直線ＡＢをＣＤに
入れ替えると、
平面ＥＵＶ
をとって、
ＣＤが
Ｅを通る平面ＥＵＶ上の直線と垂直
となる。
命題１１ー３の補足２(作図.２平面の交線)
により、
平面ＥＷＹとＥＵＶの交線ＥＦ
をとると、
ＥＦは
ＡＢ、ＣＤに対して垂直
となる。
よって、
交わる２直線の交点を通り、
２直線に垂直な直線
をとることができる。
(以下、命題１１ー４の補足(作図.交わる２直線の交点を通る、２直線に垂直な直線)という。)
- 命題１１ー４は、
交わる２直線に対し、
交点を通り、
２直線に垂直な直線は、
交点を通る
任意の直線に対し垂直
のことである。
交わる２直線に対し、
交点を通り、
２直線に垂直な直線は、
命題１１ー４の補足により、
一方の直線を通る平面を２つとり、
交点からこの直線に垂直な直線を
それぞれの平面上でとり、
この２本の垂線を通る平面をとり、
交点からこの直線に垂直な直線
をとれば、
最初の２直線に垂直な直線となる。
-
命題１１ー４の補足(作図.交わる２直線の交点を通る、２直線に垂直な直線)
- 命題１１ー４は推論用命題である。
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