ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論

第11巻
 
命題11ー4(交わる2直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直)
(作図.交わる2直線の交点を通る、2直線に垂直な直線)
もし
 一つの直線
   互いに交わる直線に対し
   それらの交点において
  垂直に立てられた
ならば,
  それらを通る
   平面に対しても
  垂直であろう。



 任意の線分EFが
   Eにおいて
  互いに交わ
   2線分AB,CDに対し
  Eから垂直に立てられた
とせよ。

 EFは
   AB,CDを通る平面に対しても
  垂直である
と主張する。

 AE,EB,CE,EDが
  互いに等しく切りとられ,
  Eを通り,
 任意の線分GEHが
  ひかれ,
 AD,CBが
  結ばれ,
さらに
   任意のFから
 FA,FG,FD,FC,FH,FBが
 結ばれた
とせよ。
    [......(1)]

そうすれば
 2線分AE,EDは
  2線分CE,EBに等しく,
  等しをはさむ

から,
 底辺ADは
  底辺CBに等しく,
 三角形AEDは
  三角形CEBに等しいであろう。
    [......(2)]

それゆえ
 DAEも
  EBCに等しい。

ところが
 AEGも
  BEHに等しい。

ゆえに
 AGE,BEHは
 2
  2にそれぞれ等しく,
 1
  1に,
 すなわち
 等しい2にはさまれるAEが
  EBに等し
  二つの三角形である。

したがって
 残りの
  残りの等し
であろう。

それゆえ
 GEは
  EHに,
 AGは
  BHに等しい。
    [......(3)]

そして
 AEは
  EBに等しく,
 FEは
  共通でかつ垂直である

から,
 底辺FAは
  底辺FBに等しい。
    [......(4)]

同じ理由で
 FCも
  FDに等しい。

そして
 ADは
  CBに等しく,
 FAも
  FBに等し

から,
 2FA,ADは2 FB,BCにそれぞれ等しい。
そして
 底辺FDが
  底辺FCに等し
ことは先に証明された。

ゆえに
 FADも
  FBCに等しい。

そしてまた
 AGが
  BHに等し
ことは証明され,

 他方FAは
  FBに等し

から,
 2FA,AGは
  2FB,BHに等しい。
そして
 FAGは
  FBHに等し
ことが証明された。

したがって
 底辺FGは
  底辺FHに等しい。

そしてまた
 GEは
  EHに等し
ことが証明され,
 EFは
  共通である

から,
 2GE,EFは
  2HE,EFに等しい。

そして
 底辺FGは
  底辺FHに等しい。

それゆえ
 GEFは
  HEFに等しい。

ゆえに
 GEF,HEFの双方は
  直角である。

したがって
 FEは
  Eを通って任意にひかれた
  線分GHに対し垂直である。

同様にして
 FEは
  それと会し,
かつ
  基準平面上にある
   すべての線分に対しても
  垂直である
ことを証明しうる。

ところで
 直線
  それと会し
 かつ
  一平面上にある
   すベての直線に対し
  垂直である
とき,
  平面に対し垂直である。

それゆえ
 FEは
  基準平面に対し垂直である。

ところが
 基準平面
  線分AB,CDを通る平面である。

したがって
 FEは
  AB,CDを通る平面に対し垂直である。


よって
もし
 一つの直線
  二つの互いに交わ
   直線に対し
   それらの交点において
  垂直に立てられた
ならば,
  それらを通る
   平面に対しても
  垂直であろう。
これが証明すべきことであった。
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