ユークリッド原論をどう読むか（１６）
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第１１巻
命題１１ー５（交わる３直線に垂直な直線があれば、３直線は同一）
もし
直線が
相会する３直線に対し
それらの交点において
垂直に立てられた
ならば，
３直線は
一平面上にある。
任意の線分ＡＢが
３線分ＢＣ,ＢＤ,ＢＥに対し
交点Ｂにおいて
垂直に立てられたとせよ。
-
実際的には、
命題１１ー４の補足(作図.交わる２直線の交点を通る、２直線に垂直な直線)
により、
２直線に対して
垂直な直線をたてることができる。
３直線に対しては、
仮想的に
立てられた
として、
推論を進めている。
-
ＡＢ⊥ＢＣ、ＢＤ、ＢＥ
となっている。
ＢＣ,ＢＤ,ＢＥは
一平面上にあると主張する。
そうでない
ならば，
もし
可能ならば，
ＢＤ,ＢＥが
基準平面上にあり，
ＢＣは
平面外にある
とし，
ＡＢ,ＢＣを通る平面が
延長された
とせよ。
[......(Ｈ)]
-
背理法の仮定である。
命題１１ー４の補足(作図.交わる２直線の交点を通る、２直線に垂直な直線)
により、
２本の直線に対しては、
常に立てることができる。
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
により、
ＡＢ、ＢＣを通る平面が
とれる。
-
ＢＤ、ＢＥ；基準平面上、
ＢＤ；基準平面外、
平面（ＡＢ、ＢＣ；）
となっている。
そうすれば
基準平面上に交線として線分をつくる
であろう。
ＢＦをつくる
とせよ。
[......(１)]
-
２平面は、
共有点Ｂをもち、
一方は
ＡＢを含まない
から、
互いに交わる面であり、
命題１１ー３（２平面の交線は直線）
により、
交線ＢＦをもつ。
なお、
点Ｆ（平面ＡＢＣ；同じ側（Ｃ、ＡＢ））
とする。
[......(２)]
-
交線ＢＦ（平面ＡＢＣ、基準平面；）
となっている。
そうすれば
３線分ＡＢ,ＢＣ,ＢＦは
一平面上に，
すなわち
ＡＢ,ＢＣを通って延長された
平面上にある。
-
（１）による。
-
ＡＢ、ＢＣ、ＢＦ；平面（ＡＢ、ＢＣ）上
となっている。
そして
ＡＢは
ＢＤ,ＢＥの双方に対し
垂直である
-
命題の設定である。
-
ＡＢ⊥ＢＤ、ＢＥ
となっている。
から，
ＡＢは
ＢＤ,ＢＥを通る平面に対しても
垂直である。
-
前節、
命題１１ー４（交わる２直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直）
による。
-
ＡＢ⊥平面（ＢＤ、ＢＥ）
となっている。
ところが
ＢＤ,ＢＥを通る平面は
基準平面である。
-
背理法の仮定による。
-
平面（ＢＤ、ＢＥ）；基準平面
となっている。
ゆえに
ＡＢは
基準平面に垂直である。
-
前節、前々節、
命題１１ー４（交わる２直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直）
による。
-
ＡＢ⊥基準平面
となっている。
したがって
ＡＢは
それと会し
かつ
基準平面上にあるすベての線分に対しても
直角をなすであろう。
-
前節、
定義１１ー３（直角(直線・平面)）
による。
-
ＡＢ⊥ＢＺ（基準平面上；）
となっている。
ところが
ＢＦは
基準平面上にあり
それと会する。
-
（１）
による。
-
ＢＦ；基準平面上
となっている。
それゆえ
角ＡＢＦは
直角である。
-
前節、前々節
による。
-
∠ＡＢＦ＝∠Ｒ
となっている。
ところが
角ＡＢＣも
直角である
ことが仮定されている。
-
命題の設定である。
-
∠ＡＢＣ＝∠Ｒ
となっている。
ゆえに
角ＡＢＦは
角ＡＢＣに等しい。
-
前節、前々節
による。
-
∠ＡＢＦ＝∠ＡＢＣ＝∠Ｒ
となっている。
そして
一平面上にある。
-
背理法の仮定による。
-
ＡＢ、ＣＢ、ＦＢ；面（ＡＢ、ＢＣ；）上
となっている。
これは不可能である。
-
（２）により、
Ｃ、Ｆは、
平面（ＡＢ、ＡＣ）上で、
ＡＣについて、
同じ側にあり、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＦ
となり、
直線ＢＣとＢＦは
一致し、
ＢＣ；基準平面上
となる。
これは、
背理法の仮定に反する。
したがって
線分ＢＣは
平面外にない。
-
前節、背理法による。
-
ＢＣ；基準平面上
となっている。
ゆえに
３線分ＢＣ,ＢＤ,ＢＥは
一平面上にある。
-
前節
による。
-
ＢＣ；平面（ＢＤ、ＢＥ）上
となっている。
よって
もし
一つの直線が
相会する３直線に対し
それらの交点において垂直に
立てられた
ならば，
３直線は
一平面上にある。
これが証明すべきことであった。
- 命題１１ー５は、
交わる３直線ＢＣ、ＢＤ、ＢＥに対して、
垂線ＢＦが
たてられた
ならば、
３直線ＢＣ、ＢＤ、ＢＥは、
同一平面上
のことである。
- 命題１１ー５は推論用命題である。
前
次
目次
頁頭