ユークリッド原論をどう読むか（１６）
頁末
前
次
目次
ユークリッド原論
第１１巻
命題１１ー３（２平面の交線は直線）
交線
(作図.２平面の交線)
もし
２平面が
互いに交わる
ならば，
それらの交線は
直線である。
- 平面は、
定義１ー７による。
- 交わるは、
定義１ー１４の補足による。
-
交線は、
面と面が
交わってできる
線をいう。
(以下、定義の補足(命題１１ー３)
(交線)という。)
- 直線は、
定義１ー４による。
２平面ＡＢ,ＢＣが
互いに交わる
とし，
線ＤＢを
それらの交線
とせよ。
-
公準の補足２（命題１１ー２）(作図.空間に任意の平面をとる)
により、
平面ＡＢＤ
をとり、
平面ＢＣＤ
をとる。
-
平面ＡＢ（交わる）平面ＢＣ、
ＢＤ；交線（ＡＢ、ＢＣ）
となっている。
線ＤＢは
直線である
と主張する。
もし
そうでない
ならば，
ＤからＢへ，平面ＡＢ上に
線分ＤＥＢが，
平面ＢＣ上に
線分ＤＦＢが
結ばれた
とせよ。
[......(１)]
-
背理法の仮定として、
点Ｅ（平面ＡＢ；¬平面ＢＤ）、
点Ｆ（平面ＢＤ；¬平面ＡＢ）
があって、
公準１ー１の補足２（作図.任意の線分）
により、
線分ＤＥＢ（平面ＡＢ；¬平面ＢＣ）、
線分ＤＦＢ（平面ＢＣ；¬平面ＡＢ）
をとる。
-
線分ＤＥＢ（平面ＡＢ；¬平面ＢＣ）、
線分ＤＦＢ（平面ＢＣ；¬平面ＡＢ）
となっている。
そうすれば
２線分ＤＥＢ,ＤＦＢは
同じ端を
もち，
＜明らかに面積を
かこむであろう。＞
［Ｄ、Ｂは
平面ＡＢ上にある
から、
線分ＤＦＢは
平面ＡＢ上に
あであろう。］
-
線分ＤＥＢ、ＤＦＢが
同一平面上にあれ
ば、
明らかである
が
同一平面上にある
と論証されていない。
証明の流れを尊重して、
修正している。
前節、
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
による。
-
Ｆ；平面ＡＢ上
となっている。
これは不合理である。
それゆえ
ＤＥＢ,ＤＦＢは
＜直線ではない。＞
［ともに、平面ＡＢ、ＢＣ上の線分で、一致し、
平面ＡＢ、ＢＣの交線である。］
-
前節、
（１）、
背理法、
公理１ー９（２点を通る直線は一致）
による。
-
交線上の２点ＤＢを通る
線分は一致し、
線分ＤＥＢ、ＤＦＢ；交線（平面ＡＢ、ＢＣ）
となっている。
同様にして
平面ＡＢ,ＢＣの交線である
［直線］ＤＢ［上にない点は］＜以外に
ＤからＢへ結ばれる
他のいかなる直線も＞
ありえない
ことを証明しうる。
-
背理法の仮定として、
交線上にあって、
直線ＤＢ上にない
点Ｇが
あった
とすれば、
公準１ー１（作図.直線）
により、
直線ＢＧ
をとると、
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
により、
直線ＢＧは、
交線上にあり、
(作図.交わる２直線、１直線上にない３点で平面が決定)
により、
交わる２直線ＢＤ、ＢＧを含む平面
が定まり、
定義１ー６（面の端）
に矛盾するから
交線上の点は、
直線ＢＤ上にある。
-
直線ＢＤ以外の点は
交線上にない
となっている。
よって
もし
２平面が
互いに交わる
ならば，
それらの交線は
直線である。
-
前節、前々節による。
-
交線（２平面；）；直線
となっている。
これが証明すべきことであった。
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
交線上に２点
をとり、
公準１ー１（作図.直線）
により
２点を通る直線
をとれば、
命題１１ー３（２平面の交線は直線）
により、
直線の交線が
とられる。
２平面を指定すれば、
直線の交線が与えられる。
(以下、命題１１ー３の補足２
(作図.２平面の交線)という。)
- 命題１１ー３は、
２平面が
交われば、
共通部分は
直線
のことである。
-
命題１１ー３の補足２ (作図.２平面の交線)
- 命題１１ー３は推論用命題である。
前
次
目次
頁頭