ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論

第11巻
 
命題11ー2(交わる2直線、三角形は同一平面上)
(作図.交わる2直線、1直線上にない3点、1直線とその上にない1点で平面が決定)
(作図.空間に任意の平面をとる)
もし
 2直線
  互いに交わる
ならば,
 それらは
  一平面上にあり,
そして
 すベての三角形
  一平面上にある。



 2線分AB,CDが
   互いにEにおいて
  交わるとせよ。

 AB,CDは
  一平面上にあり,
また
 すベての三角形
  一平面上にある
と主張する。

   EC,EB上に
 任意のF,Gが
  とられ,
 CB,FGが
  結ばれ,
 FH,GKが
  ひかれた
とせよ。

まず
 三角形ECBは
  一平面上にある
と主張する。
なぜなら
もし
 三角形ECBの1部分FHCかGBKが
  基準平面上に,
 残りが
  他の平面上にある
ならば,
    [......(1)]

 線分EC,EBの一方も,
 ある部分が
  基準平面上に,
 ある部分が
  他の平面上にあるであろう。

ところで
もし
 三角形ECBの部分<FCBG>[FCH]が
  基準平面上に,
 <残り>[GBK]が
  他の平面上にある
ならば,

 <両>線分<EC,EB>[CB]も,
 ある部分が
  基準平面上に,
 ある部分が
  他の平面上にあるであろう。

 これは
 不合理なることが
  先に証明された。

それゆえ
 三角形ECBは
  一平面上にある。
[......(1)]

ところが
 三角形ECBが
  いかなる平面上にあろうと,
 EC,EBの双方も
  同じ平面上にあり,

 EC,EBの双方が
  いかなる平面上にあろうと,
 AB,CDも
  同じ平面上にある。

ゆえに
 線分AB,CDは
  一平面上にあり,
そして
 すベての三角形
  一平面上にある。

これが証明すべきことであった。
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