ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論
第１１巻
命題１１ー２（交わる２直線、三角形は同一平面上）
(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
(作図.空間に任意の平面をとる)
もし
２直線が
互いに交わる
ならば，
それらは
一平面上にあり，
そして
すベての三角形は
一平面上にある。
２線分ＡＢ,ＣＤが
互いに点Ｅにおいて
交わるとせよ。
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
点Ｅ、Ａ、Ｃをとり、
公準１ー２（作図.直線の延長）
により、
ＡＥ、ＣＥを延長し、
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
Ｂ（延長ＡＥ）、
Ｄ（延長ＣＥ）
をとる。
-
Ｂ（延長ＡＥ）、
Ｄ（延長ＣＥ）
となっている。
ＡＢ,ＣＤは
一平面上にあり，
また
すベての三角形は
一平面上にある
と主張する。
ＥＣ,ＥＢ上に
任意の点Ｆ,Ｇが
とられ，
ＣＢ,ＦＧが
結ばれ，
ＦＨ,ＧＫが
ひかれた
とせよ。
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
公準１ー１（作図.直線）
による。
-
Ｆ（ＥＣ；）、
Ｇ（ＥＢ；）、
ＣＢ（Ｃ、Ｂ；）、
ＦＧ（Ｆ、Ｇ；）、
Ｈ（ＢＣ；）、
Ｋ（ＢＣ；）、
ＦＨ（Ｆ、Ｈ）、
ＧＫ（Ｇ、Ｋ）
をとっている。
まず
三角形ＥＣＢは
一平面上にある
と主張する。
なぜなら
もし
三角形ＥＣＢの１部分ＦＨＣかＧＢＫが
基準平面上に，
残りが
他の平面上にある
ならば，
[......(１)]
-
背理法の仮定である。
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
により、
ＥＣ、ＥＢの一方は、
基準平面上にある。
そこで、
ＥＣが
基準平面上にある
とする。
命題の補足２(定義１１ー１８)(回転の軸上にない点は回転させると軸を含む平面上)
により、
三角形ＥＢＣの
辺ＣＢ上の点Ｋが
基準平面上にあるように
とると
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
により、
ＣＫも
ＥＣとともに
基準平面上にある。
Ｈは
ＣＫ上にあるから、
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
により、
ＦＨも、三角ＦＨＣも
基準平面上にあるようにできる。
-
コメント（命題１ー４）(なぜならもし)
参照のこと。
-
三角ＦＨＣ；基準平面上、
三角ＧＢＫ；他の平面上
あるいは
その逆
となっている。
線分ＥＣ,ＥＢの一方も，
ある部分が
基準平面上に，
ある部分が
他の平面上にあるであろう。
-
第２の背理法の仮定として、
両方が
基準平面上にあれば、
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
により、
辺ＢＣも
基準平面上にあり、
第１の背理法の仮定
（１）に反する
ことによる。
-
ＥＣ；基準平面上、
ＥＢ；基準平面外
あるいは、
その逆
となっている。
ところで
もし
三角形ＥＣＢの部分＜ＦＣＢＧ＞［ＦＣＨ］が
基準平面上に，
＜残り＞［ＧＢＫ］が
他の平面上にある
ならば，
-
本質的には、
場合分けの第一の場合；
基準平面上にあるのが三角形ＦＣＨ
である。
もう一方の三角形ＧＢＫの場合も
推論は
まったく同じである
ので、
省略されている。
-
ここまでの流れ、
三角形ＦＣＨとＧＢＫの一方が
基準平面上にあり、
他方が
基準平面上にない
と無関係な推論が進む。
可能な限り、
流れを尊重して、
原文を
修正する。
三角形ＦＣＨが
基準平面上にあるとしている。
-
三角ＦＨＣ；基準平面上、
三角ＧＢＫ；他の平面上
となっている。
＜両＞線分＜ＥＣ,ＥＢ＞［ＣＢ］も，
ある部分が
基準平面上に，
ある部分が
他の平面上にあるであろう。
-
前節による。
-
ＣＨ；基準平面上、
ＫＢ；基準平面外
となっている。
これは
不合理なることが
先に証明された。
-
前節、
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
による。
それゆえ
三角形ＥＣＢは
一平面上にある。
[......(１)]
-
背理法による。
-
三角形ＥＣＢ；基準平面上
となっている。
ところが
三角形ＥＣＢが
いかなる平面上にあろうと，
ＥＣ,ＥＢの双方も
同じ平面上にあり，
-
前節による。
-
ＥＣ、ＥＢ；同一平面上
となっている。
ＥＣ,ＥＢの双方が
いかなる平面上にあろうと，
ＡＢ,ＣＤも
同じ平面上にある。
-
前節、
命題の設定
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
による。
-
ＡＢ、ＣＤ；ＥＣ、ＣＢと同一平面上
となっている。
ゆえに
線分ＡＢ,ＣＤは
一平面上にあり，
そして
すベての三角形は
一平面上にある。
-
前節、
（１）
による。
-
ＡＢ、ＣＤ；同一平面上、
任意の三角形；同一平面上
となっている。
これが証明すべきことであった。
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
異なる２点Ａ、Ｂを
とり、
公準１ー１（作図.直線）
により、
直線ＡＢを
引く。
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
点Ｚ(¬ＡＢ；）
をとり、
公準１ー１（作図.直線）
により、
直線ＡＺ
を引く。
ＡＢ、ＡＺは
交わる２直線
だから、
命題１１ー２（交わる２直線、三角形は同一平面上）
により、
ＡＢ、ＡＺは
同一平面上
にある。
交わる２直線を含む平面は
唯一である。
背理法の仮定として、
２つある
としたら
一方の平面上にあって、
他方の平面上にない
点Ｙがあり、
ＡＢ、ＡＺ上にはない。
Ｙを乗せる平面上で、
命題１ー３１（作図・平行線）
により、
Ｙを通りＡＢに平行な直線ＹＸを引く。
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により、
ＹＸは、
ＡＺと交わり、
交点をＷ
とする。
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
ＡＺ上で、Ｗと異なる点Ｖ
をとる。
命題１ー３１の補足(与点を通る平行線は唯一)
により、
ＹＶは、
ＡＢに平行でない
から、
定義１ー２３（平行(線)）
により、
ＡＢと交わり、
交点をＵとする。
Ｕ、Ｖは
ＡＢ、ＡＺ上の点
だから、
どちらの平面にも含まれる。
命題１１ー１（平面上の直線は平面外に出ない）
により、
Ｙも
どちらの平面にも含まれる。
背理法の仮定に矛盾するから、
交わる２直線を含む平面は
唯一である。
よって、
交わる２直線が
平面を決める。
したがって、
１直線上にない３点、
１直線とその上にない１点が
平面を決める。
(以下、命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)という。)
-
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
空間に任意の２点をとり、
公準１ー１（作図.直線）
により、
２点を結び、
公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
により、
直線外に任意の１点をとり、
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
により、
平面を決めることができる。
よって、
空間に任意の直線をとることができる。
(以下、公準の補足２（命題１１ー２）
(作図.空間に任意の平面をとる)という。)
- 命題１１ー２は、
２直線ＡＢ、ＣＤが
交われ
ば、
同一平面上、
三角形は、
同一平面上
のことである。
-
公準の補足２（命題１１ー２） (作図.空間に任意の平面をとる)
-
命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
- 命題１１ー２は推論用命題である。
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