ユークリッド原論をどう読むか（１７）
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ユークリッド原論
　
第１１巻

□定義
定義１１ー１（立体）
　立体とは
　　長さと幅と高さを
　　　もつ
　　もの
　　　である。

• 　立体では、
  　高さは、
  　　立体の第一の属性であり、
  　　いわゆる厚みのことで、
  　　長さ、幅を前提とする。
  （以下、定義１１−１の補足 (高さ)という。）
  　長さは
  　　定義１ー２の補足（長さ）
  による。
  　幅は
  　定義１ー５の補足（幅）
  による。
  別に、
  　矩形においては、
  　　定義の補足（命題１０ー２０）(幅)
  による幅の定義がある。
  　高さについては、
  　平面図形で、
  　定義６ー４（高さ）
  による定義がある。
  
• 　立体は、
  　　面に納まらず、厚さをもつことを
  　　高さをもつと表現している。
  　面は、
  　　線に納まらず、幅をもつこと、
  　線は、
  　　点に納まらず、長さをもつこと、
  と同様である。
  
• 　定義１ー１（点）
  　「点とは部分をもたないものである。」
  　定義１ー２（線）
  　「線とは幅のない長さである。」
  　定義１ー５（面）
  　「面とは長さと幅のみをもつものである。」
  に対応している。
  

定義１１ー２（立体の端）
　立体の端は
　　面
　　　である。

• 　立体の端は面とする
  という設定である。
  
• 　立体は、
  　　面によって
  　　　区切られている
  ということである。
  
• 　立体と平面が会する
  とき
  　平面は
  　　立体を２つ以上の部分に
  　　　分ける。
  　分けられた立体にできた
  　新たな面を
  　　断面という。
  （以下、定義１１ー２の補足 (断面)という。）
  
• 定義１ー３（線の端）
  「線の端は点である。」
  定義１ー６（面の端）
  「面の端は線である。」
  に、対応している。

定義１１ー３（直角(直線・平面)）
　直線は
　　それと
　　　会し
　　かつ
　　一平面上
　　　にある
　　すベての直線に対し直角を
　　　なす
とき、
　　平面に対し直角
　　　である。

• 　　空間においても、
  　垂直は、
  　　直角のことをいう。
  (以下、定義１１ー３の補足(垂直（空間）)という。)
  
• 　会すは、
  　定義３ー２の補足（会す）
  による。
• 　直線の平面に対する直角を、
  　　直線と交わり、
  　　かつ
  　　その平面上にあるすべての直線に対する直角でもって、
  　　定義している。
  　この定義が妥当であることは、
  　　命題１１ー４（２直線と直交すれば２直線を含む平面と直交）
  により、
  　保証される。
  
• 定義１ー１０（直角）
  に対応している。
  　平面においては、
  　　直線の直線に対する関係として
  　直角が定義される。
  　立体においては、
  　　直線の平面に対する関係として
  　直角の定義が拡張される。
  
• 平面では、
  定義１ー８（平面角）
  定義１ー９（直線角）
  により、
  　平面角、直線角が定義されてから、
  　直角が定義された。
  立体では、
  　後に定義される立体角とは関係なく、
  　直角が定義される。

定義１１ー４（直角(２平面)）
　相交わる２平面の一方において、
　　２平面の交線に対し直角に
　　　ひかれた
　直線が
　　残りの平面に対して直角
　　　である
とき、
　それらの平面は
　　互いに直角
　　　である。

• 　２平面の交線が
  　　直線であることを
  　　前提としている。
  　命題１１ー３（２平面の交線は直線）
  により、
  　保証される。
  　互いに直角といえるためには、
  　定義における２平面の役割が、
  　　入れ替え可能でなければならない。
  　命題１１ー４（２直線と直交すれば２直線を含む平面と直交）
  により、
  　保証される。
  
• 　平面と平面の直角を、
  　直線と平面の直角(定義１１ー３（平面に対し直角な直線）)
  によって、
  　定義している。
  
• 　平面の平面に対する関係として、
  　直角の概念が拡張されて、
  　定義されている。
  
• 　定義１ー１０（直角）
  に対応する。
  

定義１１ー５（傾き(線分・平面)）
　線分の平面に対する傾きとは、
　　その線分の平面外の端から
　　平面に垂線が
　　　ひかれ、
　　このようにして
　　　生じた
　　点からもとの線分の平面上の端へ
　線分が
　　　結ばれた
とき、
　　このようにひかれた線分と
　　平面上に立つもとの線分とによって
　　　はさまれる
　　角
　　　である。

• 　「線分の平面外の端」は、
  　定義１ー３（線の端）
  により、
  　　点である。
  　「生じた点」は、
  　　平面上にある。
  　「ひかれた線分」と「もとの線分」とは、
  　　　交わっている。
  
• 　　線分と平面の交点（もとの線分の平面上での端）
  　　　を通る
  　　平面上のすべての直線となす角のうち、
  　最も小さい角が、
  　　線分の平面に対する傾き
  　　　である。
  
• 　　 　定義１ー８（平面角）
  による、
  　　直線と直線の傾き（平面角）をもって、
  　　直線と平面の傾きを
  　　　定義している。
  　　平面との傾きでは、
  　　角とは、
  　　　いわない。
  
• 　線分の平面外の端から
  　　平面に垂線をひく方法は、
  　命題１１ー１１（３垂線の定理）
  による。
  
• 　定義１ー８（平面角）
  に対応する。
  
• 　　今日での、
  　　直線と平面の法線との角
  による
  　　定義と一致する。
  

定義１１ー６（傾き(２平面)）
　平面の平面に対する傾きとは、
　　平面の双方において
　　同じ点で交線に対し直角に
　　　ひかれた
　　線分によって
　　　はさまれる
　　鋭角
　　　である。

• 　「同じ点」は、
  　　交線上にある。
  　「直角にひかれた線分」は、
  　　２平面のそれぞれにある。
• 　この傾きは、
  　定義１１ー５（傾き(線分・平面)）
  による
  　　一方の平面上にひかれた線分の
  　　他方の平面に対する傾きと
  　　　一致する。
  　命題１１ー１１（３垂線の定理）
  による。
  
• 　　 　定義１ー８（平面角）
  による、
  　　直線と直線の傾き（平面角）をもって、
  　　平面と平面の傾きを
  　　　定義している。
  　　平面と平面との傾きでも、
  　　角とは、
  　　　いわない。
  
• 　定義１ー８（平面角）
  に対応する。
  
• 　　 定義１１ー５（傾き(線分・平面)）
  　定義１１ー６（傾き(２平面)）に対する関係は、
  　　定義１１ー３（直角(直線・平面)）の
  　　定義１１ー４（直角(２平面)）に対する関係
  　　　と同じである。
  
• 　　今日での、
  　　２平面の各法線の角
  による
  　　定義と一致する。
  

定義１１ー７（同じ傾き（平面））
　上述の傾きの角が
　　互い
　　　に等しい
とき、
　平面は
　　平面に対し、
　他の平面が
　　他の平面に
　　　対するのと
　　同じ傾きを
　　　なすといわれる。

• 　「傾きの角」は、
  　定義１１ー６（傾き(２平面)）
  による傾きが、
  　２直線の角である
  ことによる。
  
• 　１対の平面の傾きが、
  　　他の１対の平面の傾きと
  　　　同じである
  ことをいっている。
  
• 　　今日での、
  　　２平面の各法線の角
  による
  　　定義と一致する。
  

定義１１ー８（平行（平面））
　平行な平面とは
　　　交わらない
　　平面
　　　である。

• 　平行な２平面の存在は、
  例えば、
  　　命題１１ー１４（同一垂線の２平面は平行）
  による。
  
• 　定義１ー２３（平行(線)）
  に対応している。
  

定義１１ー９（相似な立体図形）
　相似な立体図形とは
　　数において
　　　等しい
　　相似な面によって
　　　かこまれる
　　立体図形
　　　である。

• 　「数において等しい」は、
  　　２つの立体の相似な面が、
  　　　同数で対応している
  ということである。
  　「相似な面」は、
  　　２つの立体のそれぞれに別れて、
  　　２つの立体を構成している。
  
• 　定義１１ー２（立体の端）
  により、
  　立体は、
  　　それをかこむ面によって、
  　　特徴づけられる。
  したがって、
  　相似な立体図形は、
  　　それらをかこむ対応する面が
  　　相似であることにより
  　　相似となる。
  平面においては、
  　図形をかこむのは、
  　　線であり、
  そこで、
  　定義６ー１（相似）
  　「相似な直線図形とは、
  　角がそれぞれ等しく
  　かつ
  　等しい角をはさむ辺が比例する
  　ものである。」
  と定義されることになる。
  なお、
  　立体図形という場合も、
  　定義１ー１４（図形）
  は有効である。
  

定義１１ー１０（等しくて相似な立体図形）
　等しくて相似な立体図形とは
　　数と大きさにおいて
　　　等しい、
　　相似な平面によって
　　　かこまれる
　　立体図形
　　　である。

• 「　等しくて相似な」とは
  　今日でいう合同のことである。
  （以下、定義１１−１０の補足 (等しくて相似な)という。）
  　「等しくて相似な」という表現は
  　　ここが初出である。
  　平面において相似を扱う第６巻では、
  　「等しくて相似な」という表現はない。
  　「数と大きさにおいて
  　　　等しい」は、
  　　同数で対応しており、面積が等しい
  ということである。
  なお、
  　「等しい」は、
  図形については、
  　　公理１ー７（等しい）により、
  　　大きさ即ち面積についてのことをいう、
  　「相似な」は、
  　　定義６ー１（相似）により、
  　　形についてのことである。
  
• 　今日にいう合同は、
  　命題１ー４（２辺挟角相等）
  　［もし
  　二つの三角形が
  　２辺が２辺にそれぞれ等しく、
  　その等しい２辺に
  　はさまれる角が等しい
  ならば、
  　底辺は底辺に等しく、
  　三角形は三角形に等しく、
  　残りの２角は残りの２角に、
  　すなわち
  　等しい辺が対する角は
  　それぞれ等しい
  であろう。」
  が初出である。
  さらに、
  　命題１ー８（３辺相等２）
  「もし
  　二つの三角形において
  　２辺が２辺にそれぞれ等しく、
  　底辺も底辺に等しけれ
  ば、
  　等しい辺にはさまれた
  　角もまた等しい
  であろう。」
  　命題１ー２６（２角挟辺相等）　
  「もし二つの三角形において
  　２角が２角にそれぞれ等しく、
  　１辺が１辺に、
  　　すなわち
  　　等しい２角にはさまれる辺か
  　　または
  　　等しい角の一つに対する辺が等しければ、
  　残りの２辺も残りの２辺に等しく、
  　残りの角も残りの角に等しいであろう。」
  と続く。
  しかし、
  　合同という用語は
  　　用いられていない。
  原論においては、
  　合同という用語は
  　　最後まで登場しない。
  

定義１１ー１１（立体角）
　立体角とは
　　　相会し
　かつ
　　同一平面上にない
　二つより多くの線分のすべてが
　　互いになす傾き
　　　である。
あるいは
　立体角とは
　　１点において
　　　つくられ
　　同一平面上
　　　にない、
　　二つより多くの平面角によって
　　　かこまれる
　　角
　　　である。

• 　「会す」は、
  　　定義３ー２の補足（会す）
  により、
  　　共有点をもつ
  ことであるが、
  　直線相互についていうのは
  　　初出である。
  　「二つより多くの」は、
  　　３つ以上
  ということである。
  　「平面角」は、
  　定義１ー８（平面角）
  　「平面角とは
  　平面上にあって
  　互いに交わりかつ一直線をなすことのない
  　二つの線相互の傾きである。」
  による。
  　立体を構成する面における角
  という意味ではない。
  
• 　定義１ー８（平面角）
  により、
  　立体角は、
  　１点に集まるすべての線分が互いになす角の全体をいう。　
  したがって、
  定義の後半における平面角は、
  　１点に集まる、
  　立体を構成する平面の角だけでなく、
  　１点に集まるすべての線分の平面角のことを
  　いっている。
• 　２つの立体角は、
  　　対応するすべての線分が互いになす角が等しい
  とき
  　　同じ立体角 である
  という。
  （以下、定義１１−１１の補足 (同じ立体角)という。）

定義１１ー１２（角錐）
　角錐とは、
　　数個の平面によって
　　　かこまれ、
　　一つの平面を底面
　　　とし、
　　一つの点を頂点として
　　　つくられる
　　立体
　　　である。

• 　底面とは、
  　　高さの基準であり、
  　頂点とは、
  　　底面に対して、
  　　高さを定める点であり、
  　立体角をなす点である
  (以下、定義１１ー１２の補足(底面・頂点)という。)
• 　２平面の交線は
  　　直線である
  ことは、
  　命題１１ー３（２平面の交線は直線）
  により、
  　保証される。
  よって、
  　角錐は、
  　　平面によってかこまれているので、
  　　角錐を構成する面は直線図形である。
  　定義１ー１９（直線図形）
  　「直線図形とは
  　線分に囲まれた図形であり、
  　三辺形とは三つの、
  　四辺形とは四つの、
  　多辺形とは四つより多くの
  　線分に囲まれた図形である。」
  による。
• 　角錐において、
  　底面以外の平面は、
  　　頂点と、底面となる直線図形の辺とによる
  　　三角形である。
  
  　底面・頂点は、
  　定義６ー４の補足（底辺・頂点）
  に対応している。
• 　最も単純な角錐は、
  　　三角形を底面とする三角錐
  　　　であり、
  　　４つの三角形からなる。
  　４つの正三角形によってかこまれた
  　三角錐を
  　　正四面体
  という。
  （以下、定義１１ー１２の補足２ (正四面体)という。） 　
  • 　頂点は、
    　　３つの正三角形の頂点となり、
    　　３つの辺が会し、
    　　３つの６０°によってかこまれる
    　　　立体角である。
    
  • 　４つの頂点は、
    　　互いに同じ立体角
    　　　である。
    

定義１１ー１３（角柱）
　角柱とは、
　　数個の平面によって
　　　かこまれ、
そのうち
　二つの相対する平面が
　　　等しく相似で
　　　かつ
　　　平行であり、
　残りの平面が
　　平行四辺形
　　　である
　　立体
　　　である。

• 　「二つの相対する平面」は、
  　　１組である。
  　これも、
  　　底面とよばれる。
  (以下、定義１１ー１３の補足 (底面)という。)
  　 　「等しく相似」は、
  　定義１１−１０の補足 (等しくて相似な)
  による。
  　平面の平行は、
  　定義１１ー８（平行（平面））
  による。
• 　２底面の対応する等しい辺(線分)が、
  　　平行となっており、
  　　定義の補足（命題１ー３４）(平行四辺形・対角線)
  により、
  　　平行四辺形
  となっている。
  

定義１１ー１４（球）
　球とは、
　半円の直径が
　　　固定され、
　半円が
　　　回転して、
　　その動きはじめた同じところに
　　　ふたたびもどる
とき、
　　　かこまれてできる
　　図形
　　　である。

• 　「直径が固定され」は、
  　　直径が軸となる
  ことをいう。
  　「半円が回転して」は、
  　　直径を軸として、
  　半円が回転する
  ことをいう。
  　「かこまれてできる」は、
  　半円の弧の部分の軌跡
  によって
  　　かこまれる部分
  をいう。
  
• 　球面とは、
  　　半円の弧の部分の軌跡
  をいう。
  （以下、定義１１−１４の補足(球面)という。）
• 　球面上の任意の点は、
  　　定義１１−１４の補足(球面)
  により、
  　半円の弧が、
  　　必要なだけ回転したときの
  　　弧の上にあり、
  　定義１ー１５（円）
  により、
  　弧の上の点は、
  　　中心からの距離が等しい
  から、
  　球面上の任意の点は、
  　　固定された直径の
  　中点(中心)からの距離が、
  　　　等しい。
  （以下、命題の補足２(定義１１−１４) (球面は中心から等距離)という。）
• 　中心から球面までの距離を、
  　　半径という
  （以下、定義１１−１４の補足３ (球の半径)という。）
• 　定義１ー１５（円）
  に対応する。
  

定義１１ー１５（球の軸）
　球の軸とは、
　半円が
　　そのまわりを
　　　回転する
　　　固定した
　　線分
　　　である。

• 　「固定した線分」とは、
  　　定義１１−１４（球）
  にいう
  　　「半円の直径が固定され」た
  ものである。

定義１１ー１６（球の中心）
　球の中心は
　　半円のそれと
　　　同じである。

• 　　命題の補足２(定義１１−１４) (球面は中心から等距離)
  により、
  　　中心から、
  　任意の球面上の点までの距離は
  　　　等しい。
  
• 　　定義１ー１６（中心） に対応する。

定義１１ー１７（球の直径）
　球の直径とは、
　　中心を
　　　通ってひかれ、
　　両側で球の表面によって
　　　限られる
　　任意の線分
　　　である。

• 　定義１１ー１５（球の軸）
  により、
  　球の軸は、
  　　直径の一つである。
  
• 　命題の補足２(定義１１−１４) (球面は中心から等距離)
  により、
  　球の中心は、
  　　直径の中点である。
  （以下、命題の補足(定義１１ー１７) (球の中心は直径の中点)という。）
• 　 直径を含む平面による
  　球の断面は、
  　　円であり、
  　　大円という。 （以下、定義１１ー１７の補足２ (大円)という。）
• 　定義１ー１７（直径）
  に対応する。
  

定義１１ー１８（円錐、直角、鈍角、鋭角）
　円錐とは、
　　直角三角形の直角をはさむ
　辺の一つが
　　　固定され、
　三角形が
　　　回転して、
　　その動きはじめた同じところに
　　　ふたたびもどる
とき、
　　　かこまれてできる図形
　　　である。
そして
もし
　固定された線分が、
　　直角をはさむ
　　もう一つの回転された辺
　に等しい
ならば、
　その円錐は
　　直角であり、
　小さい
ならば、
　　鈍角であり、
　大きい
ならば、
　　鋭角であろう。

• 　「辺の一つが固定され」は、
  　　その辺が軸となる
  ことをいう。
  　「三角形が回転して」は、
  　　その辺を軸として、
  　　三角形が回転する
  ことをいう。
  　「かこまれてできる」は、
  　　軸となる辺以外の
  　　２辺の軌跡
  によって
  　　かこまれる部分
  をいう。
  
• 　定義１１ー１８（円錐、直角、鈍角、鋭角）
  により、
  　軸は、
  　　　円錐によって、
  　　かこまれる
  ので、
  　　　直角三角形の軸以外の辺上にある点を、
  　　　軸を含む平面上にくるように
  　　回転させることができる。
  (以下、命題の補足(定義１１ー１８） (三角形の軸以外の辺上の点を回転させると軸を含む平面上)という。)
  　　
• 　軸を含む平面による
  　円錐の断面は、
  　　二等辺三角形
  となる。
  　定義にいう直角、鈍角、鋭角は、
  　　この二等辺三角形の頂点の角と
  　　一致する。
  
• 　公準１ー１の補足２（作図.任意の線分）
  により、
  　任意の点は、
  　　　軸上の点と
  　　線分で結ぶことができ、
  　命題の補足(定義１１ー１８）(三角形の軸以外の辺上の点を回転させると軸を含む平面上)
  により
  　直角三角形の軸以外の辺上にある点は、
  　　　軸を含む平面上にくるように
  　　回転させることができる
  よって、 　回転の軸上にない点は、
  　　　軸を含む平面上にくるように
  　　回転させることができる
  (以下、命題の補足２(定義１１ー１８)(回転の軸上にない点は回転させると軸を含む平面上)という。)
  

定義１１ー１９（円錐の軸）
　円錐の軸とは、
　三角形が
　　そのまわりを
　　　回転する
　　　固定された
　　線分
　　　である。

• 　　「固定した線分」とは、
  　　定義１１−１８（円錐、直角、鈍角、鋭角）
  にいう
  　　「辺の一つが固定され」た
  ものである。
  

定義１１ー２０（底面）
そして
　底面とは、
　　　回転する
　　線分によって
　　　描かれる
　　円
　　　である。

• 　　「回転する線分」とは、
  　　定義１１−１９（円錐、直角、鈍角、鋭角）
  にいう
  　　「直角をはさむ
  　　もう一つの回転され」た
  ものである。
  
• 　　直角をはさまない線分の回転
  によって、
  　　描かれる部分を
  　側面という。
  また、
  　　軸の
  　　底面と異なる方の端を
  　頂点という。
  （以下、定義１１ー２０の補足(側面、頂点)という。）

定義１１ー２１（円柱）
　円柱とは、
　　矩形の直角を
　　　はさむ
　辺の一つが
　　　固定され、
　矩形が
　　　回転して、
　　その
　　　動きはじめた
　　同じところへふたたび
　　　もどる
とき、
　　　かこまれてできる
　　図形
　　　である。

• 　「辺の一つが固定され」は、
  　　その辺が軸となる
  ことをいう。
  　「矩形が回転して」は、
  　　その辺を軸として、
  　　矩形が回転する
  ことをいう。
  　「かこまれてできる」は、
  　　軸となる辺以外の
  　　３辺の軌跡
  によって
  　　かこまれる部分
  をいう。
  
• 　軸を含む平面による
  　円錐の断面は、
  　　矩形
  となる。
  

定義１１ー２２（円柱の軸）
　円柱の軸とは、
　矩形が
　　そのまわりを
　　　回転する
　　　固定した
　　線分
　　　である。

• 　「固定した線分」とは、
  　　定義１１ー２１ （円柱）
  にいう
  　　「辺の一つが固定され」た
  ものである。
  

定義１１ー２３（底面）
そして
　底面とは、
　　　相対して回転する
　　　二つの辺によって
　　　　描かれる
　　　２円
　　　　である。

• 　「相対して回転する
  　　　二つの辺」とは、
  　　定義１１ー２１ （円柱）
  にいう
  　　軸となる固定された辺に
  　　　直角な、
  　　　平行で等しい矩形の２辺
  である。
  
• 　　矩形の、
  　　軸と平行で等しい辺の回転
  によって、
  　　描かれる部分を
  　側面という。
  （以下、定義１１ー２３の補足(側面)という。）

定義１１ー２４（相似な円錐および円柱）
　相似な円錐および円柱とは
　それらの軸および底面の直径が
　　　比例する
　　もの
　　　である。

• 　２円錐において、
  　　軸と底面の直径が比例する
  ならば、
  　　軸と底面の半径も比例する
  から
  　　回転する三角形は相似であり、
  　　その比は、軸の比と同じである。
  よって、
  　回転によってできる円錐の
  　側面も底面も相似であり、
  　　その比は、軸の比と同じである。
  
• 　２円柱において、
  　　軸と底面の直径が比例する
  ならば、
  　　軸と底面の半径も比例する
  から
  　　回転する矩形は相似であり、
  　　その比は、軸の比と同じである。
  よって、
  　回転によってできる円柱の
  　側面も底面も相似であり、
  　　その比は、軸の比と同じである。
  

定義１１ー２５（立方体）
　立方体とは
　　六つの等しい正方形によって
　　　かこまれた
　　立体
　　　である。

• 　「等しい正方形」とは、
  　　合同な正方形
  のことである。
  
• 　 正六面体 ともいう。
  （以下、定義１１ー２５の補足 (正六面体)という。）
• 　頂点は、
  　　３つの正方形の頂点となり、
  　　３つの辺が会し、
  　　３つの直角によってかこまれる
  　　　立体角である。
  
• 　６つの頂点は、
  　　互いに同じ立体角
  　　　である。
  

定義１１ー２６（正八面体）
　正八面体とは
　　八つの等しい等辺三角形によって
　　　かこまれた
　　立体
　　　である。

• 　「等しい等辺三角形」とは、
  　　合同な正三角形
  のことである。
  
• 　頂点は、
  　　４つの正三角形の頂点となり、
  　　４つの辺が会し、
  　　２つの直角が
  　　　４つの６０°によってかこまれる
  　　　立体角である。
  
• 　６つの頂点は、
  　　互いに同じ立体角
  　　　である。
  

定義１１ー２７（正二十面体）
　正二十面体とは
　　二十の等しい等辺三角形によって
　　　かこまれた
　　立体
　　　である。

• 　「等しい等辺三角形」とは、
  　　合同な正三角形
  のことである。
  
• 　頂点は、
  　　５つの正三角形の頂点となり、
  　　５つの辺が会し、
  　　５つの１０８°が
  　　　５つの６０°によってかこまれる
  　　　立体角である。
  
• 　１２個の頂点は、
  　　互いに同じ立体角
  　　　である。
  

定義１１ー２８（正十二面体）
　正十二面体とは
　　十二の等しい等辺等角な五角形によって
　　　かこまれた
　　立体
　　　である。

• 　「等しい等辺な五三角形」とは、
  　　合同な正五角形
  のことである。
  
• 　頂点は、
  　　３つの正五角形の頂点となり、
  　　３つの辺が会し、
  　　３つの１０８°によってかこまれる
  　　　立体角である。
  
• 　２０個の頂点は、
  　　互いに同じ立体角
  　　　である。
  
• 　等辺等角な正多角形によって
  　　囲まれ、
  　全ての頂点が
  　　互いに同じ立体角となる
  　立体を、
  　　正多面体 という。
  (以下、定義１１ー２８の補足 (正多面体)という。)
  
• 　定義１１ー２８の補足 (正多面体)
  により、
  　正多面体の頂点は、
  　正多角形の頂点が３つ以上重なる
  ことにより、
  　正多角形の１つの内角は１２０°未満となる。
  　定義１ー１０（直角）
  により、
  　１点の回りは、
  　　４直角
  となる。
  よって、
  　正多角形は、
  　　正三角形、正方形、正五角形に限られ、
  　１つの頂点に重ねうる正多角形の頂点は
  　正三角形なら、
  　　３つか、４つか、５つ、
  　正方形なら
  　　３つ、
  　正五角形なら
  　　３つ
  となることによる。
  したがって、
  　正多面体は、
  　定義１１ー１２の補足２ (正四面体)、
  　定義１１ー２５（立方体）、
  　定義１１ー２６（正八面体）、
  　定義１１ー２７（正二十面体）、
  　定義１１ー２８（正十二面体）
  の５つに限る。
  （以下、命題の補足２(定義１１ー２８) (正多面体は５つ)という。）

• 命題の補足２(定義１１−１４) (球面は中心から等距離)

  前提	作図	推論
  定義		1-15,11-14補
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題の補足(定義１１ー１８） (三角形の軸以外の辺上の点を回転させると軸を含む平面上)

  前提	作図	推論
  定義		11-18
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題の補足２(定義１１ー１８)(回転の軸上にない点は回転させると軸を含む平面上)

  前提	作図	推論
  定義
  公準	1-1補2
  公理
  命題		補(義11-18)
  その他

• 命題の補足２(定義１１ー２８) (正多面体は５つ)

  前提	作図	推論
  定義		1-10,11-28補
  公準
  公理
  命題
  その他

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