ユークリッド原論をどう読むか（１）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー２（作図・線分）
与えられた点において
与えられた線分に等しい
線分をつくる
こと。
与えられた点をＡ、
与えられた線分をＢＣ
とせよ。
このとき
点Ａにおいて
与えられた線分ＢＣに等しい
線分をつくら
ねばならぬ。
点Ａから点Ｂへの線分ＡＢが結ばれ、
-
公準１ー１（作図.直線）
による。
-
線分ＡＢ
をとる。
その上に
等辺三角形ＤＡＢがつくられ、
【・・・(ａ)】
-
命題１ー１（作図・正三角形）
による。
-
点Ｄ[;;△ＤＡＢ;等三[_ＡＢ]）
となっている。
線分ＡＥ、ＢＦが
ＤＡ、ＤＢと一直線をなして延長され、
-
公準１ー２（作図.直線の延長）
による。
-
点Ｅ[延長ＤＡ]、
点Ｆ[延長ＤＢ]、
線分ＡＥ、線分ＢＦ
をとる。
中心Ｂ、半径ＢＣをもって
円ＣＧＨが描かれ、
また、
中心Ｄ、半径ＤＧをもって
円ＧＫＬが描かれた
とせよ。
【・・・(ｂ)】
- 公準１ー３（作図.円）による。
-
点Ｇ；交点(ＤＦ、円(Ｂ、ＢＣ))、
点Ｈ；点[円(Ｂ、ＢＣ)]、
円ＣＧＨ；円(Ｂ、ＢＣ)、
点Ｌ；交点(ＤＥ、円(Ｄ、ＤＧ))、
点Ｋ；点[円(Ｄ、ＤＧ)]
円ＧＫＬ；円(Ｄ、ＤＧ)
となっている。
そうすれば、
点ＢはＣＧＨの中心である
から、
ＢＣはＢＧに等しい。
【・・・(１)】
また、
点Ｄは円ＧＫＬの中心である
から、
ＤＬはＤＧに等しく、
-
前節、
定義１ー１５（円）による。
-
ＢＣ＝ＢＧ、
ＤＬ＝ＤＧ
となっている。
そのうち、
ＤＡはＤＢに等しい。
-
(ａ) 、
定義１ー２０（等辺・二等辺・不等辺三角形）
による。
-
ＤＡ＝ＤＢ
となっている。
それゆえ
残りのＡＬは
残りのＢＧに等しい。
-
前節、前々節、
公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
による。
-
ＡＬ＝ＢＧ
となっている。
ところが、
ＢＧがＢＣに等しい
ことも先に証明された。
ゆえに
ＡＬ、ＢＣの双方はＢＧに等しい。
-
前節、前々節による。
-
ＡＬ＝ＢＧ、
ＢＣ＝ＢＧ
となっている。
そして
同じものに等しいものは
また互いに等しい。
したがって
ＡＬもＢＣに等しい。
-
前節、前々節による。
-
ＡＬ＝ＢＣ、
となっている。
よって
与えられた点Ａにおいて
与えられた線分ＢＣに
等しい線分ＡＬが
つくられている。
これが作図すべきものであった。
-
命題１ー２
により、
今日において通常考えられている円の作図
（任意の点と任意の半径による作図）
が可能である
こととなる。
なお、
命題１ー２の証明において、
点Ｃが唯一である必要がない
ことにも注目すべきである。
実際は
ＡＢの上下に一点ずつある
が、仮に、
ＡＢの上方に二点あったとしても
論証は成立している。
上方に一点しかないことの論証は
命題１ー７（３辺相等１）による。
-
原論の証明方法の特徴的なものに、
図形等を動かして重ねる
という方法がある。
この方法は命題１ー４（２辺挟角相等）に登場する
が、
この方法によれば、
この命題は次のように証明される。
点Ｂが点Ａの上に置かれるように
線分ＢＣを動かした
とき、
Ｃの位置をＬ
とする。
点Ａと点Ｌを線分で結ぶ。
そうすれば、
線分ＡＬと線分ＢＣは
互いに重なり合うので等しい。
この命題は、
この方法によらず、
より論理的に証明しよう
という志向を示している。
なお、
線分については
この志向が成功している
が、
角になると
元来の動かして重ねるという方法によって
証明している。
この違いが、
原論の志向性と
当時の到達段階の状況を
示している
と見え、興味深い。
-
公理的志向のために、
命題１ー２を証明しようとし、
その前提となる命題１ー１（点）が
第一命題として位置づけられた
と見てよいだろう。
-
命題1-2は、
点Ａ、
線分ＢＣ
に対して、
点Ｄ[;;△ＤＡＢ;等三[_ＡＢ]）
交点Ｇ(延長ＤＢ,円(Ｂ,ＢＣ))、
交点Ｌ(延長ＤＡ,円(Ｄ,ＤＧ))、
線分ＡＬ
をとると、
ＡＬ＝ＢＣ
のことである。
-
命題1-2は作図用命題である。
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