ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題９ー３（立方数の２乗は立方数）
(構成.立方数の２乗は立方数)
もし
　立方数が
　２乗してある数をつくる
ならば、
　その積は立方数であろう。

• 立方数は、
  定義７ー２０による。
• ２乗は、
  定義７ー１９の補足による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 積は、
  定義７ー１６の補足２による。

　立方数Ａが
　２乗してＢをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ；立方数、
  　Ａ^2＝Ｂ
  となっている。

　Ｂも立方数である
と主張する。

　Ａの辺Ｃがとられ、
　Ｃが２乗してＤをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ａ＝Ｃ^3、
  　Ｃ^2＝Ｄ
  となっている。

そうすれば
　ＣはＤにかけてＡをつくった
ことは明らかである。
　　　　　　[......(１)]

• 　Ｃ×Ｄ＝Ａ
  となっている。
  

そして
　Ｃは２乗してＤをつくった

• 　（ａ）による。

から、
　ＣがＤを割った商は
　Ｃのなかにある単位の個数である。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｄ／Ｃ＝Ｃ
  となっている。
  

ところが
　単位がＣを割った商も
　Ｃのなかにある単位の個数である。

• 　Ｃ／１＝Ｃ
  となっている。
  

それゆえ
　単位がＣに対するように、
　ＣがＤに対する。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、前々節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　１：Ｃ＝Ｃ：Ｄ
  となっている。
  

また
　ＣがＤにかけてＡをつくった

• 　（１）による。

から、
　ＤがＡを割った商は
　Ｃのなかにある単位の個数である。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ａ／Ｄ＝Ｃ
  となっている。
  

ところが
　単位がＣを割った商も
　Ｃのなかにある単位の個数である。

• 　Ｃ／１＝Ｃ
  となっている。
  

ゆえに
　単位がＣに対するように、
　ＤがＡに対する。

• 　前節、前々節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　１：Ｃ＝Ｄ：Ａ
  となっている。
  

ところが
　単位がＣに対するように、
　ＣがＤに対する。

• 　（２）による。

したがって
　単位がＣに対するように、
　ＣがＤに、
　ＤがＡに対する。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  
• 　１：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ａ
  となっている。
  

それゆえ
　単位と数Ａとの間には
　順次に比例する
　２つの比例中項数Ｃ、Ｄが入っている。

また
　Ａは２乗してＢをっくった

• 　命題の設定による。

から、
　ＡがＢを割った商は
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｂ／Ａ＝Ａ
  となっている。
  

ところが
　単位がＡを割った商も
　Ａのなかにある単位の個数である。

• 　Ａ／１＝Ａ
  となっている。
  

ゆえに
　単位がＡに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　前節、前々節
  　定義７−２１（比例）
  による。
  
• 　１：Ａ＝Ａ：Ｂ
  となっている。
  

ところが
　単位とＡとの間には
　２つの比例中項数が入っている。

• 　（３）による。
  

したがって
　Ａ、Ｂの間にも
　２つの比例中項数が入る
であろう。

• 　前節、前々節、
  　命題８ー８（同じ順次比例での項の挿入）
  による。
  
• 　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  により、
  　Ａ(;Ｃ^3)：Ａ×Ｃ＝Ａ×Ｃ：Ａ×Ｃ^2
  　＝Ａ×Ｃ^2：Ｂ(;Ａ^2)
  となっている。
  

ところがもし
　２つの数の間に
　２つの比例中頃数が入り、
　第１の数が立方数である
ならば、
　第２の数も立方数
であろう。

• 　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  のことである。
  

そして
　Ａは立方数である。

• 　命題の設定による。

よって
　Ｂも立方数である。

• 　前節、前々節による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　証明の過程を振り返ると、
  　次のことがわかる。
  　Ａ＝Ｃ^3、Ｂ＝Ａ^2において、
  　Ａ：Ａ×Ｃ＝Ａ×Ｃ：Ａ×Ｃ^2
  　＝Ａ×Ｃ^2：Ｂ
  となっているから、
  　ＡとＢは相似な立体数で、
  　辺の比は１：Ｃ
  となっているので
  　命題８ー２１の補足（構成.相似な立体数の辺）
  により、
  　Ｂ＝（Ｃ×Ｃ）^3
  となる。
  
  (以下、命題９ー３の補足 (構成.立方数の２乗は立方数))
  
• 命題９ー３は、
  　Ａ；立方数、
  　Ａ^2＝Ｂ
  ならば、
  　Ｂ；立方数
  のことである。
  
• 命題９ー３の補足 (構成.立方数の２乗は立方数)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-21補	9-3
  その他

• 命題９ー３は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-21
  公準
  公理
  命題	8-8補	5-11,8-8,8-23
  その他	コ4(題7-1)

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