ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２１（比例中項と相似な立体数）
（構成.相似な立体数の辺）
もし
　２つの数の間に
　２つの比例中項数が入る
ならば、
　それらは相似な立体数である。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 比例中項は、
  定義の補足３（命題６ー８）による。
• 相似は、
  定義７ー２２による。
• 立体数は、
  定義７ー１８による。

　２数Ａ、Ｂの間に
　２つの比例中項数Ｃ、Ｄが入る
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ
  となっている。

　Ａ、 Ｂは相似な立体数である
と主張する。

　Ａ、 Ｃ、 Ｄ と同じ比をもつ
　数のうちで最小である
　三つの数Ｅ、Ｆ、Ｇがとられた
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　命題７ー３３（構成.任意個の比例で最小数） による。
• 　Ａ：Ｃ：Ｄ＝Ｅ：Ｆ：Ｇ
  　かつ
  　Ｅ、Ｆ、Ｇは最小
  となっている。

そうすれば
　それらの外項Ｅ、Ｇは
　互いに素である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　命題８ー３（最小順次比例数の外項は互に素）
  による。

そして
　Ｅ、Ｇの間には１つの比例中項数Ｆが
　入っている

• 　命題の設定、 （ａ）による。
• 　Ｅ：Ｆ＝Ｆ：Ｇ
  となっている。

から、
　Ｅ、Ｇは相似な平面数である。

• 　前節、
  　命題８ー２０（比例中項と相似平面数）
  による。
  

そこで
　Ｈ、ＫをＥの、
　Ｌ、ＭをＧの辺
とせよ。
　　　　　　[......(ｂ)]

• 　前節、
  　命題８ー２０の補足（構成.相似平面数の辺）
  により、
  　Ｈ×Ｋ＝Ｅ、Ｌ×Ｍ＝Ｇ
  とできる。
  

そうすれば
　この前の定理から、
　Ｅ、Ｆ、ＧがＨ対Ｌ、Ｋ対Ｍの比をなして
　順次に比例する
ことは明らかである。
　　　　　　[......(２)]

• 　命題８ー２０（比例中項と相似平面数）
  のことである。
• 　Ｅ：Ｆ＝Ｆ：Ｇ＝Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
  となっている。

そして
　Ｅ、Ｆ、Ｇは
　Ａ、Ｃ、Ｄと同じ比をもつ
　数のうちで最小であり、

• 　（ａ）による。

　Ｅ、Ｆ、Ｇは
　Ａ、Ｃ、Ｄと同じ個数である
から、
　等間隔比によりＥがＧに対するように、
　ＡがＤに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１４（数の等間隔比）
  による。
• 　Ｅ：Ｇ＝Ａ：Ｄ
  となっている。

ところが
　Ｅ、Ｇは［互いに］素であり、

• 　（１）による。

　［互いに］素である数は最小であり、

• 　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  による。

　最小である数は
　それらと同じ比をもつ数を割り切り、
　大きい数が大きい数を、
　小さい数が小さい数を、
　すなわち
　前項前項 　後項が後項を割った商は等しい。

• 　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  による。

ゆえに
　ＥがＡを、
　ＧがＤを割った商は等しい。

• 　Ａ／Ｅ＝Ｄ／Ｇ
  となっている。

そこで
　ＥがＡを割った商に等しい
　個数の単位が
　Ｎのなかにある
とせよ。

• 　Ａ／Ｅ＝Ｎ
  となっている。

そうすれば
　ＮはＥにかけてＡをつくった。
　　　　　　[......(３)]

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｎ×Ｅ＝Ａ
  となっている。

ところが
　ＥはＨ、Ｋの積である。

• 　（ｂ）による。
• 　Ｈ×Ｋ＝Ｅ
  となっている。

それゆえ
　ＮはＨ、Ｋの積にかけてＡをつくった。

• 　前節、前々節、
  　公理の補足５（定義７ー１６）（等を等にかけると等）
  による。
• 　Ｎ×（Ｈ×Ｋ）＝Ａ
  となっている。

ゆえに
　Ａは立体数であり、
　Ｈ、Ｋ、Ｎはその辺である。
　　　　　　[......(４)]

• 　前節、
  　定義７ー１８（立体数）
  による。
  

また
　Ｅ、Ｆ、Ｇは
　Ｃ、Ｄ、Ｂと同じ比をもつ
　数のうちで最小である

• 　命題の設定、 （ａ）による。
• 　Ａ：Ｃ＝Ｃ：Ｄ＝Ｄ：Ｂ
  　＝Ｅ：Ｆ＝Ｆ：Ｇ（最小）
  となっている。
  

から、
　ＥがＣを、
　ＧがＢを割った商は等しい。

• 　前節、
  　命題７ー１４（数の等間隔比）
  により、
  　Ｅ：Ｇ＝Ｃ：Ｂ
  となっており、
  　（１）により、
  　Ｅ、Ｇは互いに素である
  から、
  　命題７ー２１（互いに素な数は同じ比の最小）
  により
  　Ｅ、Ｇが同じ比をもつ２数のなかで最小であり、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　Ｃ／Ｅ＝Ｂ／Ｇ
  となっている。
  

そこで
　ＥがＣを割った商に等しい
　個数の単位がＯのなかにある
とせよ。
　　　　　　[......(ｃ)]

• 　Ｃ／Ｅ＝Ｏ
  すなわち
  　Ｏ×Ｅ＝Ｃ
  となっている。
  

そうすれば
　ＧがＢを割った商は
　Ｏのなかにある単位の個数である。

• 　前節、前々節により
  　Ｂ／Ｇ＝Ｏになっている。

それゆえ
　ＯはＧにかけてＢをつくった。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
  
• 　Ｏ×Ｇ＝Ｂ
  となっている。

ところが
　ＧはＬ、Ｍの積である。

• 　（ｂ）による。

ゆえに
　ＯはＬ、Ｍの積にかけてＢをつくった。

• 　前節、前々節、
  　公理の補足５（定義７ー１６）（等を等にかけると等）
  による。
• 　Ｏ×（Ｌ×Ｍ）＝Ｂ
  となっている。

したがって
　Ｂは立体数であり、
　Ｌ、Ｍ、Ｏはその辺である。

• 　前節、
  　定義７ー１８（立体数）
  による。
  

よって
　Ａ、Ｂは立体数である。
　　　　　　[......(５)]

• 　（４），前節による。

　相似でもあると主張する。

　Ｎ、Ｏは
　ＥにかけてＡ、Ｃをつくった

• 　（３）、 （ｃ）による。
• 　Ｎ×Ｅ＝Ａ、Ｏ×Ｅ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　ＮがＯに対するように、
　ＡがＣに、

• 　前節、
  　命題７ー１８（各項を同数にかけても比は同じ）
  による。
  

　すなわち
　ＥがＦに対する。

• 　（ａ）による。
• 　Ｎ：Ｏ＝Ａ：Ｃ＝Ｅ：Ｆ
  となっている。
  

ところが
　ＥがＦに対するように、
　ＨがＬに、
　ＫがＭに対する。

• 　（２）による。
• 　Ｅ：Ｆ＝Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
  となっている。

それゆえ
　ＨがＬに対するように、
　ＫがＭに、
　ＮがＯに対する。

• 　前節、前々節、
  　命題５ー１１（同一の比に同じ比）
  による。
  

そして
　Ｈ、Ｋ、ＮはＡの辺であり、
　Ｏ、Ｌ、ＭはＢの辺である。

• 　（４）、
  （５）による。
  

したがって
　Ａ、Ｂは相似な立体数である。

• 　前節、
  　定義７−２２（相似な平面数・立体数）
  による、
  

　これが証明すべきことであった。

• 　 命題８ー２１は、
  　Ａ、Ｂが、
  　２つの比例中項Ｃ、Ｄをもつ
  とすれば、
  　命題７ー３３ （構成.任意個の比例で最小数）
  により、
  　Ａ：Ｃ：Ｄ＝Ｅ：Ｆ：Ｇ（最小）
  となるＥ、Ｆ、Ｇがあり、Ｆが比例中項で
  　命題８ー３ （最小順次比例数の外項は互に素）
  により、
  　Ｅ、Ｇは互いに素で、
  となり、
  　命題８ー２０ （比例中項と相似平面数）
  により、
  　Ｅ，Ｇは相似な平面数
  となり、
  　命題８ー２０の補足 （構成.相似平面数の辺）
  により、
  　Ｅ＝Ｈ×Ｋ，Ｇ＝Ｌ×Ｍ
  となり、
  　Ｆ＝Ｌ×Ｋ
  で、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
  となる。
  また、
  　命題７ー２０ （同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　Ａ／Ｅ＝Ｄ／Ｇ＝Ｎ
  となり、
  　Ａ＝Ａ／Ｅ×Ｅ＝Ｎ×Ｈ×Ｋ
  　Ｇ＝Ｄ／Ｇ×Ｇ＝Ｎ×Ｌ×Ｍ
  となる。
  一方、
  　Ｃ：Ｄ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ：Ｇ（最小）
  でもあり、
  　命題７ー２０ （同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　Ｃ／Ｅ＝Ｂ／Ｇ＝Ｏ
  となり、
  　Ｂ＝Ｂ／Ｇ×Ｇ＝Ｏ×Ｌ×Ｍ
  となる。
  　Ｎ：Ｏ＝Ａ：Ｃ＝Ｅ：Ｆ＝Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
  となるから、
  　ＡとＢは相似な立方数
  のことである。
  
• 　本命題の証明の過程
  から、
  　以下のことが整理される。
  
  　順次に比例するＡ、Ｃ、Ｄ、Ｂについて、
  　命題７ー３３（構成.任意個の比例で最小数）
  により、
  　Ａ：Ｃ：Ｄ＝Ｅ：Ｆ：Ｇ（最小）
  となるように
  　Ｅ、Ｆ、Ｇをとり、
  さらに、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｆ：Ｇ＝Ｋ：Ｍ（最小）
  となるように
  　数Ｋ、Ｍをとる
  と、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　数Ｈ、Ｌがあって、
  　Ｅ＝Ｈ×Ｋ、Ｇ＝Ｌ×Ｍ、
  　Ｆ＝Ｈ×Ｍ＝Ｌ×Ｋ
  となり、
  　Ｈ、Ｇが相似な平面数である
  とわかる。
  　Ａ：Ｃ：Ｄ＝Ｃ：Ｄ：Ｂ
  　＝Ｅ：Ｆ：Ｇ（最小）
  であったから、
  　Ａ：Ｄ＝Ｃ：Ｄ＝Ｅ：Ｇ（最小）
  となり、
  　命題７ー２０（同じ比なら最小のが割り切る）
  により、
  　数Ｎ、Ｏがあって、
  　Ａ＝Ｅ×Ｎ、Ｄ＝Ｇ×Ｎ
  　Ｃ＝Ｅ×Ｏ、Ｂ＝Ｇ×Ｏ
  となる。
  したがって
  　Ａ＝Ｈ×Ｋ×Ｎ、Ｂ＝Ｌ×Ｍ×Ｏ、
  　Ｎ：Ｏ＝Ａ：Ｃ＝Ｅ：Ｆ＝Ｈ：Ｌ＝Ｋ：Ｍ
  となる。
  すなわち、
  　順次に比例するＡ、Ｃ、Ｄ、Ｂについて、
  　Ａ：Ｃ：Ｄ＝Ｅ：Ｆ：Ｇ（最小）、
  　Ｅ：Ｆ＝Ｈ：Ｌ（最小）
  をとると、
  　Ａ：Ｄ＝Ｃ：Ｂ＝Ｅ：Ｇ（最小）
  となり、
  　Ｅ＝ＨＫ、Ｇ＝ＬＭ、
  　Ａ＝ＨＫＮ、Ｂ＝ＬＭＯ
  と、
  　相似な立体数の辺を構成できる。
  また、
  　比例中項Ｃは
  　Ａ：Ｃ＝Ｈ：Ｌにより
  　構成できる。
  
  (以下、命題８ー２１の補足（構成.相似な立体数の辺）という。)
• 命題８ー２１の補足（構成.相似な立体数の辺）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-33	7-20
  その他

• 命題８ー２１は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補,7-18,7-22
  公準
  公理		補5(義7-16)
  命題	7-33, 8-20補	5-11,7-14,7-18,7-20,7-21,8-3,8-20
  その他	コ4(題7-1)

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