ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻
　
命題７ー１８（各項を同数にかけても比は同じ）
もし
　２つの数が
　任意の数にかけて
　それぞれある数をつくる
ならば、
　これらの２つの積は
　かけた２数と同じ比をもつ
であろう。

• 数は、 定義７ー２による。
• かけるは、 定義７ー１６による。
• 積は、 定義７ー１６の補足２による。
• 同じ比は、 定義５ー５による。

　２数Ａ、Ｂが
　任意の数Ｃにかけて
　Ｄ、Ｅをつくる
とせよ。

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  図は、Ａ＝３、Ｂ＝４、Ｃ＝２、Ｄ＝６、Ｅ＝８による。
• 　数Ａ、Ｂ、Ｃ
  に対して、
  　数Ｄ(Ａ×Ｃ)、
  　数Ｅ(Ｂ×Ｃ)
  をとっている。

　ＡがＢに対するように、
　ＤがＥに対する
と主張する。

　ＡはＣにかけて
　Ｄをつくった
から、

• 命題の設定 による。
• 　Ｄ＝Ａ×Ｃ
  となっている。

　ＣもＡにかけて
　Ｄをつくった
ことになる。

• 命題７ー１６（積の可換性）
  による。
• 　Ｃ×Ａ＝Ｄ
  となっている。

そうすれば
　同じ理由で
　Ｃはまた
　Ｂにかけて
　Ｅをつくった。

• 命題７ー１６（積の可換性）
  による。 　Ｅ＝Ｃ×Ｂ
  となっている。

そこで
　数Ｃは
　２数Ａ、Ｂにかけて
　Ｄ、Ｅをつくった。

• 前節、前々節の結果による。
• 　Ｄ＝Ｃ×Ａ、
  　Ｅ＝Ｃ×Ｂ
  となっている。

それゆえ
　ＡがＢに対するように、
　ＤがＥに対する。

• 命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｅ
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー１８は、
  　Ａ×Ｃ：Ｂ×Ｃ＝Ａ：Ｂ
  のことである。
• 命題７ー１８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		7-16,7-17
  その他	コ4(題7-1)

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