ユークリッド原論をどう読むか（４）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー３８（三角形の等積変形２）
等しい底辺の上にあり
かつ
同じ平行線の間にある
三角形は
互いに等しい。
ＡＢＣ、ＤＥＦを
等しい底辺ＢＣ、ＥＦの上にあり
かつ
同じ平行線ＢＦ、ＡＤの間にある
三角形とせよ。
-
線分ＢＦ
に対して、
点Ｃ[ＢＦ]、
点Ｅ(ＢＦ;;ＥＦ＝ＢＣ)、
点Ａ[外.ＢＦ]、
平行線ＡＤ(Ａ,ＢＣ)、
△ＡＢＣ、
△ＤＥＦ
をとっている。
三角形ＡＢＣは
三角形ＤＥＦに等しいと主張する。
ＡＤが
両方向にＧ、Ｈまで延長され、
- 公準１ー１（作図.直線）
による。
-
点Ｇ'[延長ＤＡ]、
点Ｈ'[延長ＡＤ]
をとっている。
Ｂを通りＣＡに平行に
ＢＧがひかれ、
- 命題１ー３１（作図・平行線）
により平行線がひかれ、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
この平行線とＡＤの延長が交わる。
この交点を溯ってＧとしている。
-
交点Ｇ(ＡＤ,平行線(Ｂ,ＣＡ))、
をとっている。
Ｆを通りＤＥに平行に
ＦＨがひかれたとせよ。
【・・・(a)】
- 命題１ー３１（作図・平行線）
により平行線がひかれ、
命題１ー３０の補足(交線に平行な線)
により
この平行線とＡＤの延長が交わる。
この交点を溯ってＨとしている。
-
交点Ｈ(ＤＡ,平行線(Ｆ,ＥＤ))、
をとっている。
そうすれば
ＧＢＣＡ、ＤＥＦＨの双方は
平行四辺形である。
そして
ＧＢＣＡはＤＥＦＨに等しい。
【・・・(1)】
なぜなら
等しい底辺ＢＣ、ＥＦの上にあり
かつ
同じ平行線ＢＦ、ＧＨの間にあるから。
そして
三角形ＡＢＣは
平行四辺形ＧＢＣＡの半分である。
【・・・(2)】
なぜなら
対角線ＡＢがそれを２等分するから。
また
三角形ＦＥＤは
平行四辺形ＤＥＦＨの半分である。
【・・・(3)】
なぜなら
対角線ＤＦがそれを２等分するから。
ゆえに
三角形ＡＢＣは
三角形ＤＥＦに等しい。
よって
等しい底辺の上にあり
かつ
同じ平行線の間にある
三角形は互いに等しい。
これが証明すべきことであった。
- 直線図形は対角線を引くことにより、
三角形に分解される。
命題１ー３４（平行四辺形の対辺・対角・対角線）
では、
平行四辺形が
対角線で２つの面積の等しい三角形に
分解される。
命題１ー３８
により、
三角形の面積が
等積変形できることから、
任意の平面図形が
等積変形できる
道が開かれる。
- 本命題でも、
三角形の一部が重なる場合もあり得るが、
命題１ー３６（平行四辺形の等積変形２）
のコメントに示したように、
双方の三角形と重ならない位置に
もう１つの三角形を想定することにより、
本命題で扱っている場合に帰着できる。
- 命題1-38は、
線分ＢＦ
に対して、
点Ｃ[ＢＦ]、
点Ｅ(ＢＦ;;ＥＦ＝ＢＣ)、
点Ａ[外.ＢＦ]、
平行線ＡＤ(Ａ,ＢＣ)、
△ＡＢＣ、
△ＤＥＦ
をとれば、
△ＡＢＣ＝△ＤＥＦ
のことである。
- 命題1-38は推論用命題である。
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