ユークリッド原論をどう読むか（７）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー３７（いわゆる方べきの定理の逆）
もし
　円の外部に１点がとられ、
　その点から
　円に２つの直線がひかれ、
それらの一方は
　円を切り、
他方は
　円周上におち、
そして
　切る線分の全体と
　外部に
　　その点と凸形の弧との間に
　　切り取られた線分とに
　かこまれた矩形が
　円周上におちる線分の上の
　正方形に等しいならば、
円周上におちる線分は
　円に接するであろう。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 点は、 定義１ー１ による。
• 直線は、 定義１ー４ による。
• 切るは、 定義３ー２の補足２ による。
• 円周は、 定義１ー１７の補足 による。
  円周上におちるとは、
  　線分の端が
  　円周上にあることをいう。
• 線分は、 定義の補足（命題１ー１） による。
• 凸形の弧は、 定義の補足３（命題３ー８） による。
• かこまれたは、 定義２ー１ による。
• 矩形は、 定義１ー２２ による。
• 正方形は、 定義１ー２２ による。
• 等しいは、 公理１ー７ による。
• 接するは、 定義３ー２ による。

円ＡＢＣの外部に
　任意の点Ｄがとられ、

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  による。

　Ｄから円ＡＢＣに
　２線分ＤＣＡ、ＤＢがひかれたとし、
ＤＣＡは
　円を切り、

• 円の内部に
  　 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により
  　点Ｇをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により
  　ＤとＧとを結ぶ。
  定義の補足３（命題３ー８） (凸形の弧) 、
  　 命題３ー８の補足４ (凸形の弧をとおる直線は１交点)
  により
  線分ＤＧは
  　円周と１点で交わる。
  その点をＣとする。
  公準１ー２ （作図.直線の延長）
  により
  　線分ＧＤを
  　Ｇの方向に延長する。
  命題の補足３（定義１ー１４） （図形と直線の交点）
  により、
  　必要なだけ延長すれば
  　延長した部分は交点をもつ。
  定義の補足（命題３ー８） (凹形の弧) 、
  　 命題３ー８の補足２ (凹形弧をとおる直線は１交点)
  により、
  　交点は１つあり、
  　それをＡとする。
  Ａ、Ｃを溯って用いている。
• 　円ＡＢＣ
  に対して、
  　点Ｄ[外.円ＡＢＣ]、
  　点Ｚ[内.円ＡＢＣ]、
  　交点Ａ(延長ＤＺ,円ＡＢＣ)、
  　交点Ｃ(線分ＤＺ,円ＡＢＣ)
  をとっている。

ＤＢは
　円周上におちるとし、
　矩形ＡＤ、ＤＣが
　ＤＢ上の正方形に等しいとせよ。

• 　点Ｂ(上.円周ＡＢＣ;;正方(_ＢＤ)＝矩形(ＡＤ,ＤＣ))
  をとっている。

ＤＢは
　円ＡＢＣに接する
　と主張する。

ＡＢＣに
　接線ＤＥがひかれ、

• 命題３ー１７ （作図.円外の点から円への接線）
  による。
• 　ＤＥ(接)円ＡＢＣ
  をとっている。

　円ＡＢＣの中心が
　とられ
　それをＦとし、 【・・・(a)】

• 命題３ー１ （作図.円の中心）
  による。
• 　中心Ｆ.円ＡＢＣ
  をとっている。

　ＦＥ、ＦＢ、ＦＤが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＦＥ、ＦＢ、ＦＤ
  をとっている。

そうすれば
角ＦＥＤは
　直角である。［・・・(1)］

• (a) , 命題３ー１８ （接点への半径は接線に垂直）
  による。
• 　∠ＦＥＤ＝∠Ｒ
  となっている。

そして
ＤＥは
　円ＡＢＣに接し、

• (a) による。
• 　ＤＥ（接）円ＡＢＣ
  となっている。

ＤＣＡは
　それ［円ＡＢＣ］を切るから、

• 命題の設定 による。
• 　直線ＤＣＡ（切）円ＡＢＣ
  となっている。

矩形ＡＤ、ＤＣは
　ＤＥ上の正方形に等しい。

• 命題３ー３６ （いわゆる方べきの定理２）
  による。
• 　矩形(ＡＤ,ＤＣ)＝正方(_ＤＥ)
  となっている。

ところが
矩形ＡＤ、ＤＣは
　ＤＢ上の正方形にも等しかった。

• 命題の設定 による。
• 　矩形(ＡＤ,ＤＣ)＝正方(_ＤＢ)
  となっている。

ゆえに
ＤＥ上の正方形は
　ＤＢ上の正方形に等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　正方(_ＤＥ)＝正方(_ＤＢ)
  となっている。

したがって
ＤＥは
　ＤＢに等しい。

• 命題１−４８の補足 （正方形の大等小と辺の大等小）
  による。
• 　ＤＥ＝ＤＢ
  となっている。

ところが
　ＦＥも
　ＦＢに等しい。

• (a), 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　ＦＥ＝ＦＢ
  となっている。

そこで
２辺ＤＥ、ＥＦは
　２辺ＤＢ、《ＢＤ》［ＢＦ］に等しい。

• 　(ＤＥ、ＥＦ)＝(ＤＢ,ＢＦ)
  となっている。

そして
ＦＤは
　それらの共通な底辺である。
それゆえ
角ＤＥＦは
　角ＤＢＦに等しい。

• 命題１ー８ （３辺相等２）
  による。
• 　∠ＤＥＦ＝∠ＤＢＦ
  となっている。

ところが
角ＤＥＦは
　直角である。

• (a)による。
• 　∠ＤＥＦ＝∠Ｒ
  となっている。

ゆえに
角ＤＢＦも
　直角である。

• 公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＤＢＦ＝∠Ｒ
  となっている。

そして
　ＦＢが延長されれば
　直径である。

• Ｆが中心であることによる。
• 　交点Ｙ(延長ＢＦ,円ＡＢＣ)
  をとると、
  　ＢＹ;直径.円ＡＢＣ
  となっている。

そして
　円の直径に
　その端から直角に引かれた
　　直線は
　円に接する。

• 命題３ー１６（直径に直角な直線）
  による。

したがって
ＤＢは
　円ＡＢＣに接する。

• 　ＤＢ（接）円ＡＢＣ
  となっている。

中心が
　ＡＣ上にあっても、
　同様にして証明しうる。

• 本命題の証明においては、
  　ＡＣが
  　　中心を通るかどうかは
  　影響しない。
  したがって、
  　この一文は必要がない。

よってもし
　円の外部に１点がとられ、
　その点から
　円に２つの直線がひかれ、
それらの一方は
　円を切り、
他方は
　円周上におち、
そして
　切る線分の全体と
　外部に
　　その点と凸形の弧との間に
　　切り取られた線分とに
　かこまれた矩形が
　円周上におちる線分の上の
　正方形に等しいならば、
円周上におちる線分は
　円に接するであろう。
これが証明すべきことであった。

• 命題３ー３７は、
  　円ＡＢＣ
  に対して、
  　点Ｄ[外.円ＡＢＣ]、
  　直線ＤＣＡ[Ｄ,;;（切）円ＡＢＣ]、
  　Ｃ、Ａ;交点[直線ＤＣＡ,円周ＡＢＣ]
  　直線ＤＢ(Ｄ,点Ｂ.円周ＡＢＣ;;正方(_線分ＤＢ)＝矩形(ＤＣ,ＣＡ))
  をとれば、
  　ＤＢ（接）円ＡＢＣ
  のことである。
• 命題３ー３７は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15,補(題3-8),補3(題3-8)
  公準	1-1 ,1-1補 ,1-2
  公理		1-1
  命題	補3(義1-14) ,3-1 ,3-8補2 ,3-8補4 ,3-17	1-8 ,1-48補 ,3-16 ,3-18 ,3-36
  その他

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