ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー１８（接点への半径は接線に垂直）　
（円と接線の共有点は接点のみ）
(円と直線の共有点は２以下)
もし
　直線が
　円に接し、
　中心から接点に
　線分が
　結ばれるならば、
結ばれた線分は
　接線に垂直であろう。

• 直線は、定義１−１０ による。
• 円は、定義１−１５ による。
• 接しは、定義３−２ による。
• 中心は、定義１−１６ による。
• 接点は、定義３ー２の補足３ による。
• 線分は、定義の補足（命題１ー１） による。
• 接線は、定義３ー２の補足３による。
• 垂直は、定義１ー１０の補足２ による。

円ＡＢＣに
　直線ＤＥが
　点Ｃにおいて
　接するとし、
　円ＡＢＣの中心Ｆが
　とられ、

• 命題３ー１（作図.円の中心）
  による。
• 　円ＡＢＣ
  に対して、
  　接点Ｃ(ＤＥ,円ＡＢＣ)、
  　中心Ｆ.円ＡＢＣ
  をとっている。

　ＦからＣに
　ＦＣが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＦＣ
  をとっている。

ＦＣは
　ＤＥに
　垂直である
　と主張する。
　


もしそうでないならば、

• 背理法の仮定を
  　述べようとしている。

　ＦからＤＥに
　垂線ＦＧが
　ひかれたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題１ー１２作図・線分への垂線）
  による。
• 背理法の仮定として、
  　ＤＥへのＦからの垂線の
  　　交点が
  　Ｃと異なるＧであった
  　としている。
  
• 　垂足Ｇ(Ｆ,ＤＥ;;Ｇ;外.Ｃ)
  をとったとしている。
• 定義１ー４の補足（半直線）
  により、
  　Ｇが
  　ＣＤ上になる場合と
  　ＣＥ上になる場合
  　がある。
  

　[ＣＤ上になる場合]
そうすれば
角ＦＧＣは
　直角であるから、

• (a) による。
• 　∠ＦＧＣ＝∠Ｒ
  となっている。

角ＦＣＧは
　鋭角である。 【・・・(1)】

• 命題１ー１６（外角と内対角）
  により、
  外角ＦＧＤは
  　内対角ＦＣＧより大きく、
  　定義１ー１０（直角）
  により、
  外角ＦＧＤは
  　直角であるから、
  　公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  により、
  ＦＣＧは
  　直角より小さいことによる。
• 　∠ＦＣＧ＜∠Ｒ
  となっている。

そして、
　大きい角には
　大きい辺が
　対する。

• 命題１−１９（三角形の大きい辺と大きい角２）
  による。

それゆえ
ＦＣは
　ＦＧより大きい。 【・・・(2)】

• (1) による。
• 　ＦＣ＞ＦＧ
  となっている。

ところが
ＦＣは
　ＦＢに等しい。 【・・・(3)】

• Ｇは
  　接線上のＣと異なる
  　　点である。
  定義３ー２（接する）
  により、
  Ｇは
  　円の外部の点であり、
  　公準１−１（作図.直線）
  により、
  　内部の点である
  　　中心Ｆと
  　結んだ線分は
  　命題３−２の補足(円内通過直線は円周と２交点)
  により、
  　円周と１点で交わる。
  この点をＢとして、
  　遡って用いている。
  定義１ー１５（円）
  により、
  ＦＣは
  　ＦＢに等しい。
• 　ＦＣ＝ＦＢ
  となっている。

ゆえに
ＦＢは
　ＦＧより大きい。

• (2) (3) ,公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  による。
• 　ＦＢ＞ＦＧ
  となっている。

すなわち
　小さいものが
　大きいものより大きい。

• ＢはＦＧ上の点であるから、
  公理１ー８の補足（小さい）
  により、
  ＦＢはＦＧより小さい。
• 　ＦＢ＜ＦＧ
  となっている。

これは
　不可能である。
したがって
ＦＧは
　ＤＧに垂直でない。

• 背理法の仮定を否定している。
• 　ＦＧ¬⊥ＤＧ
  となっている。

　[ＣＥ上になる場合]
同様にして
　［証明できる。
[ ２つの場合の結果により、 ]
　ＦＣ以外のいかなる線分も
　垂直でない
　ことを証明しうる。

• コメント（命題１ー１４）である。
  

ゆえに
ＦＣは
　ＤＥに垂直である。

• 背理法による結論である。
• 命題１ー１２（作図・線分への垂線）
  により、
  　直線ＥＤ上に、
  　Ｆからの垂線の交点がある。
  Ｃ以外の点は交点でない。
  よって、
  　Ｃが交点である。
  
• 　ＦＣ⊥ＤＥ
  となっている。

よってもし
　直線が
　円に接し、
　中心から接点に
　線分が結ばれるならば、
結ばれた線分は
　接線に垂直であろう。
　
これが証明すべきことであった。

• 本質的に
  　命題３ー６の補足２(中心は接線の接点での垂線上)
  で
  　証明したところである。
• 接線と円の共有点は接点のみである。
  （以下、命題３ー１８の補足（円と接線の共有点は接点のみ）という。）
  円の中心をＡ、
  　接点をＢ、
  　接線上にあってＢ以外の
  　任意のところにある点をＣとし、
  
  • 　中心Ａ.円、
    　接点Ｂ(接線,円)
    　点Ｃ[接線;;Ｃ;外.Ｂ]
    をとっている。
  
  　公準１ー１（作図.直線）
  により
  　ＡとＢ、ＡとＣを結んで
  　三角形ＡＢＣを作る。
  
  • 　△ＡＢＣ
    をとっている。
  
  命題３ー１８（接点への半径は接線に垂直）
  により
  　角ＡＢＣは直角に等しい。
  
  • 　∠ＡＢＣ＝∠Ｒ
    となっている。
  
  命題１ー１６（外角と内対角）
  により
  　角ＢＣＡは直角より小さい。
  
  • 　∠ＢＣＡ＜∠Ｒ
    となっている。
  
  公理１ー８の補足２（等より大・小、大・小に等）
  により
  　角ＡＢＣは角ＢＣＡより大きい。
  
  • 　∠ＡＢＣ＞∠ＢＣＡ
    となっている。
  
  命題１ー１９（三角形の大きい辺と大きい角２）
  により
  　ＣＡはＡＢより大きい。
  
  • 　ＣＡ＞ＡＢ
    となっている。
  
  定義１ー１５（円）
  により
  　Ｃは円周上にない。
  
  • 　Ｃ;外.円
    となっている。
  
  よって
  　円と接線の共有点は接点のみである。
  
• 命題３ー１８は、
  　　円ＡＢＣ
  に対して、
  　接点Ｃ(ＤＥ,円ＡＢＣ)、
  　中心Ｆ.円ＡＢＣ
  をとれば、
  　ＦＣ⊥ＤＥ
  のことである。
  
• 　命題３−２の補足(円内通過直線は円周と２交点)
  　命題３ー１８の補足（円と接線の共有点は接点のみ）
  により、
  　円とその外の点を通る直線との共有点は、
  　２つ以下で、
  １つならば
  　円と直線は接する。
  ２つならば
  　円と直線は交わる。
  (以下、命題３ー１８の補足２(円と直線の共有点は２以下)という。)
  
• 命題３ー１８の補足（円と接線の共有点は接点のみ）

  前提	作図	推論
  定義		1-15
  公準	1-1
  公理		1-8補2,1-19
  命題		1-16,3-18
  その他

• 命題３ー１８の補足２(円と直線の共有点は２以下)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題		3-2補,3-18補
  その他

• 命題３ー１８は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-4補,1-10,1-15,3-2
  公準	1-1
  公理		1-8補,1-8補2
  命題	1-12,3-1,3-2補	1-16,1-19
  その他		背理法,場合分け, コメント(題1-14)

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