ユークリッド原論をどう読むか（７）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第３巻

命題３ー３３（作図.与えられた角を含む切片）
与えられた線分上に
　与えられた直線角に等しい
　角を含む
　切片を描くこと。

• 線分は、 定義の補足（命題１ー１） による。
• 直線角は、 定義１ー９ による。
• 等しいは、 公理１ー７ による。
• 角は、 定義１ー８ による。
• 含むは、 定義３ー１１の補足 による。
• 切片は、 定義３ー６ による。
• 定義３ー７ 、 定義３ー８ で
  　切片の角と切片内の角を
  　区別している。
  定義３−１１ においても、
  　含むという表現は
  　切片内の角に関して
  　使っている。
  この命題にいう角は、
  　切片内の角である。

与えられた線分をＡＢ、
　与えられた直線角をＣとせよ。

• 　線分ＡＢ、
  　直線角Ｃ
  をとっている。

このとき
　与えられた線分上に
　角Ｃに等しい角を《含む》［内の角とする］
　円の切片を描かねばならぬ。

角Ｃは
　鋭角か
　直角か
　または
　鈍角
　である。

• 場合分けをしている。

まず
　 鋭角であるとし、

• 第１の場合である。

　第１図のように
　線分ＡＢ上に
　点Ａにおいて角Ｃに等しい角
　ＢＡＤがつくられたとせよ。 【・・・(a)】

• 命題１ー２３ （作図・直線上に指定された角）
  による。
• 　∠ＢＡＤ[Ａ,ＡＢ,∠Ｃ]
  をとっている。

そうすれば
　ＢＡＤも鋭角である。

• 公理１ー８の補足２ （等より大・小、大・小に等） という）
  による。
• 　∠ＢＡＤ;鋭角
  となっている。

ＤＡに
　直角にＡＥがひかれ、

• 命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  による。
• 　垂線ＡＥ'(Ａ,ＡＤ)
  をとっている。

　ＡＢが
　Ｆにおいて２等分され

• 命題１ー１０ （作図・線分の２等分）
  による。
• 　中点Ｆ(ＡＢ)
  をとっている。

　点Ｆから
　ＡＢに直角に
　ＦＧがひかれ、 【・・・(b)】

• 命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  による。
  (a) により
  角ＡＦＧは
  　直角であり、
  角ＦＡＧは
  　鋭角であるから、
  　 公理１ー４ （不等なものに等しいものを加える）
  により、
  ＡＦＧとＦＡＧの和は
  　２直角より小さい。
  公準１ー５ （平行線公準）
  により、
  　ＦＧとＡＥは交点をもち、
  　それを改めてＧとし、
  　溯って用いている。
• 　垂線ＦＧ'(Ｆ,ＡＢ)
  　交点Ｇ(ＦＧ',ＡＥ')
  をとっている。

　ＧＢが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＧＢ
  をとっている。

そうすれば
ＡＦは
　ＦＢに等しく

• (b) による。
• 　ＡＦ＝ＦＢ
  となっている。

ＦＧは
　共通であるから、
２辺ＡＦ、ＦＧは
　２辺ＢＦ、ＦＧに等しい。
そして
角ＡＦＧは
　角ＢＦＧに等しい。

• (b) により、直角である。
• 　(ＡＦ、ＦＧ)＝(ＢＦ、ＦＧ)、
  　∠ＡＦＧ＝∠ＢＦＧ
  となっている。

それゆえ
底辺ＡＧは
　底辺ＢＧに等しい。

• 命題１ー４ （２辺挟角相等）
  による。
• 　ＡＧ＝ＢＧ
  となっている。

ゆえに
　Ｇを中心とし、
　ＧＡを半径として
　円が描かれれば、

• 公準１ー３ （作図.円）
  による。

　Ｂをも通るであろう。

• 定義１ー１５ （円）
  による。
  中心Ｇを通る直線は、
  　 命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により、
  　Ａ以外に
  　もう１点交点をもつ。
  その点を
  　改めてＥとし
  　溯って用いている。

［円が］ 描かれたとし、
　それをＡＢＥとし、
　ＥＢが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　交点Ｅ(ＡＥ',円周(Ｇ,ＡＧ))
  　Ｂ;上.円周(Ｇ,ＡＧ)
  となっている。

そうすれば
ＡＤは
　直径ＡＥの端Ａから
　ＡＥに直角であるから、

• (b) による。
• 　ＡＤ⊥直径ＡＥ.円ＡＢＥ
  となっている。

ＡＤは
　円ＡＢＥに接する。

• 命題３−１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　ＡＤ（接）円ＡＢＥ
  となっている。

そこで
直線ＡＤは
　円ＡＢＥに接し、
　接点Ａから
　円ＡＢＥに弦ＡＢがひかれたから、
角ＤＡＢは
　円の
　反対側の切片内の角ＡＥＢに等しい。

• 命題３ー３２ （いわゆる接弦定理）
  による。
• 　∠ＤＡＢ＝∠ＡＥＢ
  となっている。

ところが
角ＤＡＢは
　角Ｃに等しい。

• (a) による。
• 　∠ＤＡＢ＝∠Ｃ
  となっている。

したがって
角Ｃは
　角ＡＥＢに等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　∠Ｃ＝∠ＡＥＢ
  となっている。

よって
　与えられた線分ＡＢ上に
　与えられた角Ｃに等しい
　角ＡＥＢを《含む》［内の角とする］
　円の切片ＡＥＢが描かれた。

• 　切片ＡＥＢ;切片(弦ＡＢ,弧ＡＥＢ)
  　内角ＡＥＢ.切片ＡＥＢ＝∠Ｃ
  となっている。

次に
角Ｃが
　直角であるとせよ。

• 第２の場合である。

ふたたび
　ＡＢ上に
　Ｃにおける
　直角に等しい角を《含む》［内の角とする］
　円の切片を描かねばならないとせよ。
第２図のように
　Ｃにおける
　直角に等しい角ＢＡＤがつくられたとし、 【・・・(c)】

• 命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  による。
• 　∠ＢＡＤ[Ａ,ＡＢ,∠Ｃ＝∠Ｒ]
  をとっている。

ＡＢが
　Ｆにおいて２等分され、

• 命題１ー１０ （作図・線分の２等分）
  による。
• 　中点Ｆ(ＡＢ)
  をとっている。

　Ｆを中心とし、
　ＦＡ、ＦＢのどちらかを半径として
円ＡＥＢが描かれたとせよ。

• 公準１ー３ （作図.円）
  による。
• 　円ＡＥＢ(Ｆ,ＦＡ)
  をとっている。

そうすれば
直線ＡＤは
　角Ａが直角であるから、
　円ＡＢＥに接する。

• (c) , 命題３−１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　ＡＤ（接）円ＡＢＥ
  となっている。

そして
角ＢＡＤは
　切片ＡＥＢ内の角に等しい。
なぜなら
　半円内の角であるため
　それも直角であるから。

• 命題３ー３１ （半円内の角は直角、半円より大小の切片内の角、切片の角）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＝内角.切片ＡＥＢ
  となっている。
• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。

ところがまた
角ＢＡＤは
　角Ｃに等しい。

• (c) による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠Ｃ
  となっている。

ゆえに
　ＡＥＢ内の角も
　角Ｃに等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　内角.切片ＡＥＢ＝∠Ｃ
  となっている。

よってまた
　ＡＢ上に
　角Ｃに等しい
　角を《含む》［内の角とする］
　円の切片ＡＥＢが描かれた。

次に
角Ｃが
　鈍角であるとせよ。

• 第３の場合である。
• 　∠Ｃ;鈍角
  となっている。

そして
　それに等しい角ＢＡＤが
　線分ＡＢ上に
　点Ａにおいて
　第３図のようにつくられたとし、 【・・・(d)】

• 命題１ー２３ （作図・直線上に指定された角）
  による。
• 　∠ＢＡＤ[Ａ,ＡＢ,∠Ｃ]
  をとっている。

　ＡＤに
　直角にＡＥがひかれ、

• 命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  による。
• 　垂線ＡＥ'(Ａ,ＡＤ)
  をとっている。

ＡＢがまた
　Ｆにおいて２等分され、

• 命題１ー１０ （作図・線分の２等分）
  による。
• 　中点Ｆ(ＡＢ)
  をとっている。

　ＡＢに直角に
　ＦＧがひかれ、 【・・・(e)】

• 命題１ー１１ （作図・線分からの垂線）
  による。
  
• 角ＡＦＧは
  　直角であり、
  角ＢＡＥは
  　鋭角であるから、
  　 公理１ー４ （不等なものに等しいものを加える）
  により、
  角ＡＦＧとＢＡＥの和は
  　２直角より小さい。
  公準１ー５ （平行線公準）
  により
  ＦＧとＡＥは
  　交点をもつ。
  その点を改めてＧとし、
  　溯って用いている。
• 　垂線ＦＧ'(Ｆ,ＡＢ)
  　交点Ｇ(ＦＧ',ＡＥ') をとっている。

　ＧＢが結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＧＢ
  をとっている。

そうすればまた
ＡＦは
　ＦＢに等しく、

• (e) による。
• 　ＡＦ＝ＦＢ
  となっている。

　ＦＧは共通であるから、
２辺ＡＦ、ＦＧは
　２辺ＢＦ、ＦＧに等しい。
そして
角ＡＦＧは
　角ＢＦＧに等しい。

• (e) による。
• 　(ＡＦ、ＦＧ)＝(ＢＦ、ＦＧ)、
  　∠ＡＦＧ＝∠ＢＦＧ
  となっている。

それゆえ
底辺ＡＧは
　底辺ＢＧに等しい。

• 命題１ー４ （２辺挟角相等）
  による。
• 　ＡＧ＝ＢＧ
  となっている。

ゆえに
　Ｇを中心とし、
　ＧＡを半径として
　円が描かれれば、

• 公準１ー３ （作図.円）
  による。

　Ｂをも通るであろう。

• 定義１ー１５ （円）
  による。
• 　Ｂ;上.円周(Ｇ,ＧＡ)
  となっている。

ＡＥＢのように通るとせよ。

• 直線ＡＥは
  　中心を通るから、
  　 命題３−１の補足２ (中心を通る直線は円周と２交点)
  により
  　円周と
  　Ａ以外のもう１点で交わる。
  その点を改めてＥとし、
  　溯ってＥを用いている。
• 　交点Ｅ(ＡＥ',円周(Ｇ,ＧＡ))
  をとっている。

そして
ＡＤは
　直径ＡＥに
　その端から直角であるから、

• (e) による。
• 　ＡＤ⊥ＡＥ
  となっている。

ＡＤは
　円ＡＥＢに接する。

• 命題３−１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　ＡＤ(接)円ＡＥＢ
  となっている。

そして
ＡＢは
　接点Ａからひかれた。

• (d) による。

それゆえ
角ＢＡＤは
　円の
　反対側の切片ＡＨＢ内につくられた
　角に等しい。

• 命題３ー３２ （いわゆる接弦定理）
  による。
• 　∠ＢＡＤ＝内角.切片ＡＨＢ(ＡＢ,円ＡＢＥ;;反対側(ＡＢ,Ｄ))
  となっている。

ところが
角ＢＡＤは
　角Ｃに等しい。

• (d) による。
• 　∠ＢＡＤ＝∠Ｃ
  となっている。

したがって
切片ＡＨＢ内の角は
　角Ｃに等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　内角.切片ＡＨＢ＝∠Ｃ
  となっている。

したがって、
　３つの場合の結果により
　線分ＡＢ上に
　角Ｃに等しい角を《含む》［内の角とする］
　円の切片が描かれた。

よって
　与えられた線分ＡＢ上に
　与えられた角Ｃに等しい
　角を《含む》［内の角とする］
　切片ＡＨＢが描かれた。
これが作図すべきものであった。

• 命題３ー３３は、
  　線分ＡＢ、∠Ｃ
  に対して、
  　∠ＡＢＤ[Ａ,ＡＢ,∠Ｃ]、
  　中点Ｆ(ＡＢ)、
  　交点Ｇ(垂線(Ｆ,ＡＢ),垂線(Ａ,ＡＤ))、
  　交点Ｅ(延長ＡＧ,円周(Ｇ,ＧＡ))
  をとると、
  　内角.切片(ＡＢ,円ＡＢＥ,反対側(ＡＢ,Ｄ))＝∠Ｃ
  のことである。
  
• 命題３ー３３は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-15
  公準	1-1 , 1-3 , 1-5
  公理		1-1 , 1-4 , 1-8補2
  命題	1-10 , 1-11 , 1-23 , 3-1補2	1-4 , 3-16系 , 3-31 , 3-32
  その他		場合分け,コ2(題1-16)f

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭