ユークリッド原論をどう読むか(7)
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ユークリッド原論

第3巻

命題3ー33(作図.与えられた角を含む切片)
与えられた線分上に
 与えられた直線角等しい
 含む
 切片を描くこと。


与えられた線分をAB、
 与えられた直線角をCとせよ。

このとき
 与えられた線分上に
 Cに等しいを《含む》[内のとする]
 切片を描かねばならぬ。

Cは
 鋭角
 直角
 または
 鈍角
 である。
まず
  鋭角であるとし、
 第1図のように
 線分AB上に
 AにおいてCに等しい
 BADがつくられたとせよ。 【・・・(a)】 そうすれば
 BADも鋭角である。
DAに
 直角にAEがひかれ、
 ABが
 Fにおいて2等分され  Fから
 ABに直角
 FGがひかれ、 【・・・(b)】  GBが結ばれたとせよ。
そうすれば
AFは
 FBに等しく
FGは
 共通であるから、
AF、FGは
 2BF、FGに等しい
そして
AFGは
 BFGに等しい
それゆえ
底辺AGは
 底辺BGに等しい
ゆえに
 Gを中心とし、
 GAを半径として
 が描かれれば、
 Bをも通るであろう。
が] 描かれたとし、
 それをABEとし、
 EBが結ばれたとせよ。
そうすれば
ADは
 直径AEの端Aから
 AEに直角であるから、
ADは
 ABEに接する
そこで
直線ADは
 ABEに接し
 接点Aから
 ABEにABがひかれたから、
DABは
 
 反対側の切片内のAEBに等しい
ところが
DABは
 Cに等しい
したがって
Cは
 AEBに等しい
よって
 与えられた線分AB上に
 与えられたCに等しい
 AEBを《含む》[内のとする]
 切片AEBが描かれた。


次に
Cが
 直角であるとせよ。



ふたたび
 AB上に
 Cにおける
 直角等しいを《含む》[内のとする]
 切片を描かねばならないとせよ。
第2図のように
 Cにおける
 直角等しいBADがつくられたとし、 【・・・(c)】
ABが
 Fにおいて2等分され、
 Fを中心とし、
 FA、FBのどちらかを半径として
AEBが描かれたとせよ。
そうすれば
直線ADは
 Aが直角であるから、
 ABEに接する
そして
BADは
 切片AEB内の等しい
なぜなら
 半円内のであるため
 それも直角であるから。
ところがまた
BADは
 Cに等しい
ゆえに
 AEB内の
 Cに等しい
よってまた
 AB上に
 Cに等しい
 を《含む》[内のとする]
 切片AEBが描かれた。

次に
Cが
 鈍角であるとせよ。



そして
 それに等しいBADが
 線分AB上に
 Aにおいて
 第3図のようにつくられたとし、 【・・・(d)】  ADに
 直角にAEがひかれ、
ABがまた
 Fにおいて2等分され、
 ABに直角
 FGがひかれ、 【・・・(e)】  GBが結ばれたとせよ。
そうすればまた
AFは
 FBに等しく
 FGは共通であるから、
AF、FGは
 2BF、FGに等しい
そして
AFGは
 BFGに等しい
それゆえ
底辺AGは
 底辺BGに等しい
ゆえに
 Gを中心とし、
 GAを半径として
 が描かれれば、
 Bをも通るであろう。
AEBのように通るとせよ。
そして
ADは
 直径AEに
 その端から直角であるから、
ADは
 AEBに接する
そして
ABは
 接点Aからひかれた。
それゆえ
BADは
 
 反対側の切片AHB内につくられた
 等しい
ところが
BADは
 Cに等しい
したがって
切片AHB内の
 Cに等しい
したがって、
 3つの場合の結果により
 線分AB上に
 角Cに等しい角を《含む》[内の角とする]
 円の切片が描かれた。

よって
 与えられた線分AB上に
 与えられたCに等しい
 を《含む》[内のとする]
 切片AHBが描かれた。
これが作図すべきものであった。       目次   頁頭