ユークリッド原論をどう読むか（６）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー１９（中心は接線の接点からの垂線上）
もし
　直線が
　円に接し、
　接点から
　接線に直角に
　直線が
　ひかれるならば、
円の中心は
　ひかれた直線上にあるであろう。
　

• 直線は、定義１−１０ による。
• 円は、定義１−１５ による。
• 接しは、定義３−２ による。
• 接点は、定義３ー２の補足３ による。
• 接線は、定義３ー２の補足３による。
• 直角は、定義１ー１０による。
• 中心は、定義１ー１６による。

直線ＤＥが
　点Ｃにおいて
　円ＡＢＣに接するとし、
　Ｃから
　ＤＥに直角に
　ＣＡが
　ひかれたとせよ。

• 命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  による。
  Ｃをとおる直線は、
  　 命題３ー１６（直径に直角な直線）
  により、
  　円の内部をとおる。
  命題３−２の補足(円内通過直線は円周と２交点)
  により、
  　この直線は、
  　Ｃ以外に
  　円周ともう１点交点をもつ。
  この点をＡとする。
  このＡを溯って用いている。
• 　円ＡＢＣ
  に対して、
  　接点Ｃ(ＤＥ,円ＡＢＣ)、
  　交点Ａ(垂線(Ｃ,ＤＥ),円ＡＢＣ)
  をとっている。

円の中心は
　ＡＣ上にある
　と主張する。
　
そうでないとすれば、

• 背理法の仮定を
  　述べようとしている。

　もし可能ならば、

• 「もし可能ならば」は、
  コメント２(命題１−７）参照のこと。

　Ｆを中心とし、 【・・・(a)】

• 線分ＡＣは
  　 命題３ー２（弦は円の内部）
  により
  　円の内部にある。
  定義１ー７の補足（平面）
  により
  円は
  　弦ＡＣについて
  　２つの部分に分けられる。
  公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  によって
  　円の内部で
  　　弦ＡＣ上でない
  　ところに
  　点Ｆをとる。
  
• 　中心Ｆ.円ＡＢＣ
  をとっている。

［定義１ー７の補足（同じ側・反対側(平面)）
により、
　Ｆが角ＡＣＥの内部にある場合と、
　Ｆが角ＡＣＤの内部にある場合
がある。］
[ Ｆが角ＡＣＥの内部にある場合 ]
　ＣＦが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　線分ＣＦ
  をとっている。

　
直線ＤＥは
　円ＡＢＣに接し、

• 命題の設定 による。
• 　ＤＥ（接）円ＡＢＣ
  となっている。

　中心から接点へ
　ＦＣが結ばれたから、

• (a) による。
• 　Ｃ;交点(ＤＥ,円ＡＢＣ)
  となっている。

ＦＣは
　ＤＥに垂直である。

• 命題３ー１８（接点への半径は接線に垂直）
  
• 　ＦＣ⊥ＤＥ
  となっている。 による。

それゆえ
角ＦＣＥは
　直角である。 【・・・(1)】

• 定義１ー１０の補足２（垂直）
  による。
• 　∠ＦＣＥ＝∠Ｒ
  となっている。

ところが
角ＡＣＥも
　直角である。

• 命題の設定 による。
• 　∠ＡＣＥ＝∠Ｒ
  となっている。

ゆえに
角ＦＣＥは
　角ＡＣＥに等しい、

• (1) , 公理１ー７（等しい）
  による。
• 　∠ＦＣＥ＝∠ＡＣＥ
  となっている。

　すなわち
小さいものが
　大きいものに等しい。

• Ｆが
  　角ＡＣＥの内部にある場合であるから
  　 公理１ー８の補足（小さい）
  により、
  角ＦＣＥは
  　ＡＣＥより小さい。
  
• 　∠ＦＣＥ＜∠ＡＣＥ
  となっていた。

これは不可能である。

• 公理１ー８（大きい）
  による。

したがって
Ｆは
　円ＡＢＣの中心ではない。

• 背理法の仮定による矛盾である。

[ Ｆが角ＡＣＤの内部にある場合も ]
同様にして
　［証明できる、
２つの場合の結果により、 ］
　ＡＣ上以外の
　　いかなる点も
　そうでない
　ことを証明《しうる》［できた］。

• Ｆが
  　角ＡＣＤの内部にある場合も
  　同様であることを述べている。
• コメント（命題１ー１４）参照のこと。
  

よってもし
　直線が
　円に接し、
　接点から
　接線に直角に
　直線がひかれるならば、
円の中心は
　ひかれた直線上にあるであろう。
これが証明すべきことであった。

• 命題３ー６の補足２(中心は接線の接点での垂線上)
  で
  　証明したものである。
• 命題３ー１９は、
  　円ＡＢＣ
  に対して、
  　接点Ｃ(ＤＥ,円ＡＢＣ)、
  　交点Ａ(垂線(Ｃ,ＤＥ),円ＡＢＣ)
  をとれば、
  　中心.円ＡＢＣ;内.ＡＣ
  のことである。
  
• 命題３ー１９は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-7補,1-10補2
  公準	1-1,1-1補
  公理		1-7,1-8,1-8補
  命題	1-11,3-2補	3-2 ,3-16,3-18
  その他		背理法,コ2(題1-7),場合分け, コメント(題1-14)

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