ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー１８（構成.第３比例項）
　二つの数が与えられた
とき、
　それらに対し
　第３の比例項を見いだすことが
　可能であるかどうかを
吟味すること。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 比例は、
  定義７ー２１による。

　与えられた２数をＡ、Ｂ
とし、
　それらに対し
　第３の比例項を見いだすことが
　可能であるかどうかを
吟味せねばならぬ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｅ
  となるような
  　数Ｅを見つけることである。
  

さて
　Ａ、Ｂは
　互いに素であるか
　ないか
である。

• 　場合分けをしようとしている。

もし
　互いに素
であれば、

• 　場合分け１である。

　それらに対し
　第３の比例項を見いだすことは
　不可能である
ことが証明された。

• 　命題９ー１７による。

次に
　Ａ、Ｂが互いに素でない
とし、

• 　場合分け２である。

　Ｂは２乗してＣをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ｂ^2＝Ｃ
  となっている。
  

そうすれば
　Ａは
　Ｃを割り切るか
　割り切らないか
である。

• 　場合分け２で
  　さらに場合分けをしようとしている。

まず
　割り切る
とし、

• 　場合分け２ー１である。

　Ａ｜Ｃ
となっている。
　その商をＤ
とせよ。

• 　Ｃ／Ａ＝Ｄ
  となっている。

そうすれば
　ＡはＤにかけてＣをつくった。

• 　前節、
  　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数）
  による。
  

ところが
　Ｂも２乗してＣをつくった。

• 　（ａ）による。

ゆえに
　Ａ、Ｄの積は
　Ｂの平方数に等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  

したがって
　ＡがＢに対するように、
　ＢがＤに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  となっている。
  

よって
　Ａ、Ｂに対し
　第３の比例項Ｄが見いだされた。

次に
　ＡがＣを割り切らない
とせよ。

• 　場合分け２ー２である。
• 　Ａnot｜Ｃ
  となっている。

　Ａ、Ｂに対し
　第３の比例項を見いだすことは
　不可能である
と主張する。

もし可能ならば

• 　「もし可能ならば」は、
  　コメント２(命題１－７）
  　参照のこと。
  
• 　背理法の仮定を述べようとしている。

　Ｄが見いだされた
とせよ。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ としている。

そうすれば
　Ａ、Ｄの積は
　Ｂの平方数に等しい。

• 　前節、
  　命題７ー１９（４数の比例と内項・外項の積）
  による。
  
• 　Ａ×Ｄ＝Ｂ^2
  となっている。
  

ところが
　Ｂの平方数はＣである。

• 　（ａ）による。
• 　Ｂ^2＝Ｃ
  となっている。

ゆえに
　Ａ、Ｄの積はＣに等しい。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
  
• 　Ａ×Ｄ＝Ｃ
  となっている。

したがって
　ＡはＤにかけてＣをつくった。

それゆえ
　ＡがＣを割った商はＤである。

• 　前節、
  　定義７ー８の補足（商）
  による。
• 　Ｃ／Ａ＝Ｄ
  となっている。

ところが
　割り切らない
と仮定されている。

• 　場合分け２ー２ による。

　これは不合理である。

• 　前節、前々節による。

ゆえに
　ＡがＣを割り切らない
とき、
　Ａ、Ｂに対し
　第３の比例項を見いだす
　ことは不可能である。

• 　背理法による。
• 　場合分け２での２つの場合が終了
• 　場合分けの２つの場合が終了
• 　Ａ｜Ｂ^2
  となっているとき、
  このときに限り、
  　Ｂ^2／Ａ＝Ｄ
  とすれば、
  　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  となることがわかる。
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー１８は、
  　数Ａ、Ｂ
  に対し、
  　Ａ｜Ｂ^2
  のときに限り、
  　Ｄ；Ｂ^2／Ａ
  をとると、
  　Ａ：Ｂ＝Ｂ：Ｄ
  のことである。
  
• 命題９ー１８は構成用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-8補
  公準
  公理		1-1
  命題		補4(義7-16),7-19
  その他	コ4(題7-1)	コ2(題1-7),背理法,場合分け

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