ユークリッド原論をどう読むか（１１）
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ユークリッド原論

第７巻

命題７ー２（構成.最大公約数）
最大公約数・公約数
（数は自分自身を割り切る）
(系.公約数は最大公約数を割り切る)
互いに素でない
　２数が与えられたとき、
　それらの最大公約数を見いだすこと。

• 互いに素は、 定義７ー１３ による。
• 数は、 定義７ー２ による。
• 最大公約数とは、
  　２つ以上の数について、
  　共通の約数（定義７ー３ ）を
  　公約数 といい、
  　そのうち
  　最大のものをいう。
  （以下、定義の補足（命題７ー２）(最大公約数・公約数)という。）
  

互いに素でない
　２つの与えられた数を
　ＡＢ、ＣＤとせよ。
［小さい方をＣＤとする。］

• 「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１） 参照のこと。
  図は、
  　ＡＢ＝１０とＣＤ＝６である。
  　命題の補足（定義７ー２）(作図.数ｎ) による。
  
• 　数ＡＢ
  に対して、
  　数ＣＤ[;;＜ＡＢ,¬(互いに素)ＡＢ]
  をとっている。

このとき
　ＡＢ、ＣＤの最大公約数を
　見いださねばならない。
　
［ ＣＤが
　ＡＢを割り切る場合と、
　ＡＢを割り切らない場合
　がある。］
　 そこでもし
　ＣＤがＡＢを割り切り
　自分自身をも割り切るならば、

• 場合分け（１）である。
• 小さい方をＣＤとしている。
• どんな数でも、
  　自分自身は、自分自身１回で量り切るので
  　自分自身を割り切る。
  （以下、命題７−２の補足２（数は自分自身を割り切る）という。）
  　定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
• 　ＣＤ｜(ＡＢ、ＣＤ)
  となっている。

　ＣＤはＣＤ、ＡＢの公約数である。

• 定義の補足（命題７ー２） (最大公約数・公約数)
  による。
• 　ＣＤ;公約数[ＣＤ,ＡＢ]
  となっている。

そして
　最大でもあることは明らかである。
なぜなら
　ＣＤより大きい数は
　ＣＤを割り切らないであろうから。

• 定義５ー１の補足２（割り切る）
  による。
• 　ＣＤ;最大公約数(ＣＤ,ＡＢ)
  となっている。

ところがもし
　ＣＤがＡＢを割り切らないならば、

• 場合分け（２）である。
• 　ＣＤ¬｜ＡＢ
  となっている。

　ＡＢ、ＣＤのうち
　常に小さい数が
　大きい数から引き去られるとき、
　自分の前の数を割り切る
　何らかの数が残されるであろう。

• 論理的可能性としては、
  　数が単位の個数倍であるかぎり、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）
  により、
  　大きい数から小さい数を引き去り、
  　　残ったより小さい数を
  　　改めて小さい数とし、
  　　先の小さい数を
  　　改めて大きい数とする
  　　操作を繰り返すとき、
  　命題７ー１の補足６ (数を減じるのは有限回) により、
  　少なくとも
  　最初の小さい数の回数までで
  　引き去り終わる。
  すなわち、
  　割り切るということが起こる。
  最後に
  　割り切ったものが、
  　単位か、
  　２以上の数か
  　ということになるが、
  　単位ではないという意味である。
  
• 　数ＡＢ、ＣＤ、ＡＢ＞ＣＤ
  に対して、
  　Ｅ1＝Ｂ、Ｆ1＝Ｄ、
  　ＡＥi＝mod(ＡＥi-1,ＣＦi-1)、
  　ＣＦi＝mod(ＣＦi-1,ＡＥi)
  を逐次とれば、
  　(ＡＥn or ＣＦn)＝ｄ;≠単位、
  　ｄ｜(ＡＥn、ＣＥn)
  となるｎがある。

なぜなら
　≪単位が残されることはない
から。≫
もし
　単位が残されるなら、

• 背理法の仮定である。
• 「なぜならもし」は、
  　コメント（命題１ー４） 参照のこと。

　ＡＢ、ＣＤは互いに素であることになり、

• 　命題７ー１（互除法１） による。

　これは仮定に反するから。

• 命題の設定では、
  　互いに素でないとなっている。

それゆえ
　自分の前の数を割り切る
　何らかの数が残されるであろう。

• 背理法による。
• 　Ｅ1＝Ｂ、Ｆ1＝Ｄ、
  　ＡＥi＝mod(ＡＥi-1,ＣＦi-1)、
  　ＣＦi＝mod(ＣＦi-1,ＡＥi)
  を逐次とれば、
  　(ＡＥn or ＣＦn)＝ｄ;≠単位、
  　ｄ｜(ＡＥn、ＣＥn)
  となるｎがある

そして
　 ＣＤがＢＥを割り切り、
　自分より小さいＥＡを残すとし、
　ＥＡがＤＦを割り切り、
　自分より小さいＦＣを残すとし、
［・・・
　ＣＦi-1がＥiＥi-1を割り切り、
　自分より小さいＡＥiを残すとし、
　ＡＥiがＦiＦi-1を割り切り、
　自分より小さいＣＦiを残すとし、
　・・・］
　ＣＦ[n]がＡＥ[n]を割り切るとせよ。 【・・・(a)】

• 準一般的な証明である。
  準一般的な証明は、
  　コメント２（命題５ー１） 参照のこと。
  　逐次操作の準一般的な証明の一般化は、
  　コメント５(命題７ー１)
  　参照のこと。
• 　Ｅ1＝Ｂ、Ｆ1＝Ｄ、
  　点Ｅi(ＡＥi-1;;ＣＦi-1｜ＥiＥi-1,ＡＥi＜ＣＦi-1)、
  　点Ｆi(ＣＦi-1;;ＡＥi｜ＦiＦi-1,Ｃi＜ＡＥi)、
  　ＣＦn｜ＡＥn
  となるｎがある。

そうすれば
　ＣＦ[n]がＡＥ[n]を割り切り、
［ＡＥnがＦnＦn-1を割り切り、
　ＣＦn-1がＥnＥn-1を割り切り、
　・・・
　ＡＥiがＦiＦi-1を割り切り、
　ＣＦi-1がＥiＥi-1を割り切り、
　・・・］
　ＡＥ[2]がＤＦ[2＝Ｆ2Ｆ1]を割り切るから

• 　前節による。
• 　ＣＦn｜ＡＥn
  　　ＡＥn｜ＦnＦn-1
  　ＣＦn-1｜ＥnＥn-1
  　・・・
  　　ＡＥi｜ＦiＦi-1
  　ＣＦi-1｜ＥiＥi-1
  　・・・
  　　ＡＥ2｜ＤＦ2
  となっている。

　ＣＦ[n]は、
　《Ｄ》Ｆ[nＦn-1]をも割り切る《であろう》。

• 命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  による。
• 　ＣＦn｜ＦnＦn-1
  となっている。

しかも
　自分自身をも割り切る。

• 命題７−２の補足２（数は自分自身を割り切る）
  による。
• 　ＣＦn｜ＣＦn
  となっている。

ゆえに
Ｃ《Ｄ》[Ｆn-1]をも割り切るであろう。

• 命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　ＣＦn｜ＣＦn-1
  となるので、
  まとめると、
  　ＣＦn｜(ＣＦn-1、ＡＥn)
  となっている。

［また、
　　ＣＦn-1はＥnＥn-1を割り切るので、
　ＣＦnは
　　ＥnＥn-1を割りきり、
　　ＡＥnも割り切るから、
　　ＡＥn-1をも割り切る。
同じ推論を繰り返すと、
　ＣＦnは
　　ＣＦiを割り切り、　
　　ＡＥiをも割り切り、
　　・・・］
ゆえに
　　ＣＤ全体をも割り切るであろう。 【・・・(1)】

• 命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）、
  命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　前節(ＣＦn｜(ＣＦn-1、ＡＥn))
  に
  　ＣＦn-1｜ＥnＥn-1
  をあわせて
  　ＣＦn｜(ＣＦn-1、ＡＥn-1)。　
  これに
  　ＡＥn-1｜Ｆn-1Ｆn-2
  をあわせて、
  　ＣＦn｜(ＣＦn-2、ＡＥn-1)。
  　・・・
  　ＣＦn｜(ＣＦi、ＡＥi)
  　・・・
  　ＣＦn｜((ＣＤ;ＣＦ1)、ＡＥ2)
  
  となっている。

ところが
　ＣＤはＢＥ[2]を割り切る。

• 　(a)による。
• 　ＣＤ｜(ＢＥ2;Ｅ2Ｅ1)
  となっている。

したがって
　ＣＦ[n]はＢＥ[2]を割り切る。

• 　前節、前々節、
  命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  による。
• 　ＣＦn｜(ＢＥ2;Ｅ2Ｅ1)
  となっている。

ところが
　Ｅ[2]Ａをも割り切る。

• (a) による。
• 　ＣＦn｜Ｅ2Ａ
  となっている。

それゆえ
　ＢＡ全体をも割り切るであろう。

• 命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　ＣＦn｜(ＢＡ;ＡＥ1)
  となっている。

しかも
　ＣＤをも割り切る。

• (1) による。
• 　ＣＦn｜ＣＤ
  となっている。

ゆえに
　ＣＦ[n]はＡＢ、ＣＤを割り切る。

• 　ＣＦn｜(ＡＢ、ＣＤ)
  となっている。

したがって
　ＣＦ[n]はＡＢ、ＣＤの公約数である。

• 定義の補足（命題７ー２）最大公約数・公約数)
  による。
• 　ＣＦn;公約数[ＡＢ,ＣＤ]
  となっている。

次に最大であると主張する。
なぜならもし

• 背理法の仮定を述べようとしている。
• 「なぜならもし」は、、
  　コメント（命題１ー４） 参照のこと。

　 ＣＦ[n]がＡＢ、ＣＤの最大公約数でないならば、
　ＣＦ[n]より大きい何らかの数が
　ＡＢ、ＣＤを割り切るであろう。

• 背理法の仮定である。

割り切るとし、
　それをＧとせよ。 【・・・(b)】

「・・・するものとし」は、
　コメント３(命題７ー１）参照のこと。
• 推論の設定である。
• 　数Ｇ＞ＣＦn
  があって、
  　Ｇ｜(ＡＢ、ＣＤ)
  となっている。

そうすれば
　ＧはＣＤを割り切り、
　ＣＤはＢＥ[2]を割り切るから、

• (a) による。

　ＧはＢＥ[2]をも割り切る。

• 命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  による。
• 　Ｇ｜ＢＥ2
  となっている。

それゆえ
　残りのＡＥ[2]をも割り切るであろう。

• (b)、
  命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　Ｇ｜ＡＥ2
  となっている。

ところが
　ＡＥ[2]はＤＦ[2]を割り切る。

• (a) による。
• 　ＡＥ2｜ＤＦ2
  となっている。

ゆえに
　ＧはＤＦ[2]をも割り切るであろう。

• 命題７−１の補足（倍数の倍数、約数の約数）
  による。
• 　Ｇ｜ＤＦ2
  となっている。

しかも
　ＤＣ全体をも割り切る。

• (b) による。
• 　Ｇ｜ＤＣ
  となっている。

したがって
　残りのＣＦ[2]をも割り切る、

• 命題７−１の補足２（倍数の和・差は倍数）
  による。
• 　Ｇ｜ＣＦ2
  となっている。

［これを繰り返すと、
　ＧはＣＦnをも割り切る。］

• 　Ｇ｜ＣＦn
  となっている。

　すなわち
　大きい数が小さい数を割り切ることになる。

• (b) による。

これは不可能である。
それゆえ
　ＣＦ[n]より大きいいかなる数も
　数ＡＢ、ＣＤを割り切らないであろう。

• 背理法による。

よって
　ＣＦ[n]はＡＢ、ＣＤの最大公約数である。

• 　ＣＦn＝最大公約数(ＡＢ,ＣＤ)
  となっている。

［ ２つの場合の結果により
　ＡＢ、ＣＤの最大公約数が
　常に作図される。］

系
これから
　次のことが明らかである、
　すなわち
　 もし
　ある数が２つの数を割り切るならば、
　それらの最大公約数をも割り切るであろう。
（以下、命題７ー２の系３ (系.公約数は最大公約数を割り切る)という。）

• 背理法の仮定により、
  　推論の設定をした部分(b) 以降の
  　推論による。
  
• 　公約数[Ａ,Ｂ]｜最大公約数(Ａ,Ｂ)
  となっている。

これが証明すべきことであった。

• 命題７ー２は、
  　数ＡＢ、ＣＤ、ＡＢ＞ＣＤ
  に対して、
  　ＡＢ1＝ＡＢ、ＣＤ1＝ＣＤ、
  　ＡＢi＝mod(ＡＢi-1,ＣＤi-1)、
  　ＣＤi＝mod(ＣＤi-1,ＡＢi)
  を順にとるとき、
  　数Ｅ(;;＝((ＡＢn;｜ＣＤn) or ＣＤn;(｜ＡＢn+1)),≠単位)
  となれば、
  　Ｅ＝最大公約数(ＡＢ,ＣＤ)
  のことである。
• 命題７−２の補足２（数は自分自身を割り切る）

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題７ー２の系３ (系.公約数は最大公約数を割り切る)

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	7-2
  その他

• 命題７ー２は構成用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		5-1補2,補(題7-2)
  公準
  公理
  命題	1-3,補(義7-2)	7-1補 ,7-1補2,7-1補6,7-2補2
  その他		背理法,場合わけ,コ(題1-4),コ2(題5-1) ,コ3(題7-1),コ4(題7-1),コ5(題7-1)

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