ユークリッド原論をどう読むか（１２）
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ユークリッド原論

第８巻
　
命題８ー２５（３項立方数の比例の第４項）
（立方数は相似）
もし
　２つの数が互いに
　立方数が立方数に対する比をもち、
　第１の数が立方数である
ならば、
　第２の数も立方数
であろう。

• 数は、
  定義７ー２による。
• 立方数は、
  定義７ー２０による。
• 対するは、
  定義の補足３（命題５ー１１）による。
• 比は、
  定義５ー３による。

　２数Ａ、Ｂが互いに
　立方数Ｃが立方数Ｄに対する比をもち、
　Ａが立方数である
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｇ、Ｈ、Ｋがあって、
  　Ｃ＝Ｇ^3、Ｄ＝Ｈ^3、
  　Ａ：Ｂ＝Ｃ：Ｄ、
  　Ａ＝Ｋ^3
  となっている。
  

　Ｂも立方数である
と主張する。

　Ｃ、Ｄは立方数である

• 　命題の設定による
• 　Ｃ＝Ｇ^3、Ｄ＝Ｈ^3
  となっている。

から、
　Ｃ、Ｄは相似な立体数である。

• 　前節により
  　Ｃ＝Ｇ^3、Ｄ＝Ｈ^3
  となっており、
  　Ｇ：Ｇ：Ｇ＝Ｈ：Ｈ：Ｈ
  となっているから、
  　定義７−２２（相似な平面数・立体数）
  により、
  　相似である。
  
  　推論の過程
  から
  　立方数は互いに相似な立体数である
  (命題８ー２５の補足（立方数は相似）)
  ことがわかる。
  

それゆえ
　Ｃ、Ｄの間には２つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１９（相似な立体数と比例中項）
  による。
  
• 　Ｃ（Ｇ^3）：Ｇ^2×Ｈ＝Ｇ^2×Ｈ：Ｇ×Ｈ^2＝
  　Ｇ×Ｈ^2：Ｄ（Ｈ^3）
  となっている。
  

そして
　いくつの数が順次に比例して
　Ｃ、Ｄの間に入ろう
と、
　同じ個数の数が
　Ｃ、Ｄと同じ比をもつ数の間に入る。

• 　命題８ー８（同じ順次比例での項の挿入）
  のことである。
  

ゆえに
　Ａ、Ｂの間には２つの比例中項数が入る。

• 　前々節、前節による。
• 　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  により
  　Ｇ：Ｈの比で
  　２つの比例中項
  が入る。
  

　Ｅ、Ｆが入る
とせよ。

• 　前節による。

そうすれば
　４つの数Ａ、Ｅ、Ｆ、Ｂが順次に比例し、
　Ａは立方数である

• 　前節、 命題の設定による

から、
　Ｂも立方数である。

• 　前節、
  　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　Ａ：Ｂ＝Ｃ^3:Ｄ^3で
  　Ａが立方数
  ならば、
  　Ｂも立方数である．
  
• 命題８ー２５の補足（立方数は相似）

  前提	作図	推論
  定義		7-22
  公準
  公理
  命題
  その他

• 命題８ー２５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-22
  公準
  公理
  命題	8-8補	8-8,8-19,8-23
  その他	コ4(題7-1)

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