ユークリッド原論をどう読むか（８）
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ユークリッド原論

第４巻

命題４ー３（作図.等角三角形の外接）
与えられた円に
　与えられた三角形と等角な
　　三角形を
　外接させること。

• 円は、 定義１ー１８ による。
• 三角形は、 定義１ー１９の補足２ による。
• 等角は、 定義の補足（命題４ー２） による。
• 外接は、 定義４ー４ による。

与えられた円をＡＢＣ、
　与えられた三角形をＤＥＦ
　とせよ。

• 　円ＡＢＣ、
  　△ＤＥＦ
  をとっている。

このとき
　円ＡＢＣに
　三角形ＤＥＦに等角な
　　三角形を
　外接させねばならぬ。


ＥＦが
　両側に点Ｇ、Ｈまで延長され、

• 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  による。
• 　点Ｇ[延長ＦＥ]、
  　点Ｈ[延長ＥＦ]
  をとっている。

　円ＡＢＣの中心Ｋがとられ、

• 命題３ー１ （作図.円の中心）
  による。
• 　中心Ｋ.円ＡＢＣ
  をとっている。

　任意に線分ＫＢがひかれ、

• 公準１ー１の補足 （作図.任意の点をとる）
  により、
  　円周上に点Ｂをとる。
  公準１ー１ （作図.直線）
  により、
  　ＫとＢとを結ぶ。
• 　点Ｂ[円周ＡＢＣ]
  をとれば、
  　半径ＫＢ.円ＡＢＣ
  となっている。

　線分ＫＢに
　その上の点Ｋにおいて
　角ＤＥＧに
　　等しい角ＢＫＡが、 【・・・(a)】

• 命題１ー２３ （作図・直線上に指定された角）
  により、
  　半直線ＫＡがひかれる。
  ＫＡは
  　中心から出る半直線であるから、
  　 命題３−２の補足 (円内通過直線は円周と２交点)
  により
  　円周と１点で交わる。
  その点を改めてＡとし、
  　Ａを溯って用いている。
• 　点Ａ(円周ＡＢＣ;∠ＢＫＡ＝∠ＧＥＤ,同向側(ＢＫ,ＧＥ,Ｄ))、
  をとっている。

　角ＤＦＨに
　　等しい角ＢＫＣが
　つくられ、

• 命題１ー２３ （作図・直線上に指定された角）
  によるが、
  　 命題１ー２２の補足 （底辺の両端を中心とする２円の交点
  により、
  等しい角は
  　直線ＢＫの両側にできる。
  そこで、
  半直線ＫＣは、
  　ＢＫについて
  　点Ａと反対側につくる。
  ＫＣは　
  　中心から出る半直線であるから、
  　 命題３−２の補足 (円内通過直線は円周と２交点)
  により
  　円周と１点で交わる。
  その点を改めてＣとし、
  　Ｃを溯って用いている。
• 　点Ｃ(円周ＡＢＣ;∠ＢＫＣ＝∠ＨＦＤ,反対側(ＢＫ,Ａ))、
  をとっている。

　点Ａ、Ｂ、Ｃを通り
　円ＡＢＣに
　接線ＬＡＭ、ＭＢＮ、ＮＣＬが
　ひかれたとせよ。 【・・・(b)】

• 命題３ー１６の補足３ （円周上の点を通る接線）
  による。
  命題１ー３１の補足２ (交線の垂線)
  により、
  　Ａを通る接線とＢを通る接線とは
  　交わる。
  その交点を改めてＭとし、
  　溯ってＭを用いている。
  同様に、
  　Ｃを通る接線とＢを通る接線、
  　Ｃを通る接線とＡを通る接線は
  　交わる。
  その交点を改めてＮ、Ｌとし、
  　溯ってＮ、Ｌを用いている。
• 　交点Ｍ(接線(Ａ,円ＡＢＣ),接線(Ｂ,円ＡＢＣ))、
  　交点Ｎ(接線(Ｂ,円ＡＢＣ),接線(Ｃ,円ＡＢＣ))、
  　交点Ｌ(接線(Ｃ,円ＡＢＣ),接線(Ａ,円ＡＢＣ))
  をとっている。

そうすれば
ＬＭ、ＭＮ、ＮＬは
　点Ａ、Ｂ、Ｃで円ＡＢＣに接し、

• (b) による。
• 　Ａ;接点(ＬＭ,円ＡＢＣ)、
  　Ｂ;接点(ＭＮ,円ＡＢＣ)、
  　Ｃ;接点(ＮＬ,円ＡＢＣ)
  となっている。

　中心Ｋから点Ａ、Ｂ、Ｃに
　ＫＡ、ＫＢ、ＫＣが結ばれたから、

• (a) などの、等しい角を作図する際に結ばれている。
• 　ＫＡ、ＫＢ、ｋＣ;半径.円ＡＢＣ
  となっている。

点Ａ、Ｂ、Ｃにおける角は
　直角である。

• 命題３−１６の系 （系．接線は直径と直角）
  による。
• 　∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠Ｒ
  となっている。

そして
ＡＭＢＫは
　２つの三角形に分けられるから、

• 角ＢＫＡは
  　角ＤＥＧに等しいように
  　作図されている。
  したがって、
  線分ＢＫ、ＡＫは
  　１点Ｋで交わっているので、
  　 公準１ー１ （作図.直線）
  により
  　　ＡとＢとを結んだ直線ＡＢ上には、
  Ｋは
  　存在しない。
  また
  ＡＭ、ＢＭは
  　１点Ｍで交わっているので、
  　直線ＡＢ上にＭは存在しない。
  それゆえ、
  四角形ＡＭＢＫは、
  　線分ＡＢにより、
  　三角形ＫＡＢとＭＡＢとに
  　分けられる。

四辺形ＡＭＢＫの４つの角の和は
　４直角に等しく、

• 命題１ー３２ （三角形の内対角・内角の和） 、
  公理１ー２ （等しいものに等しいものを加える） 、
  定義の補足（公理１ー５） （同じもののｎ倍）
  による。
• 　Σ内角.四角形ＡＭＢＫ＝４∠Ｒ
  となっている。

　そして
角ＫＡＭとＫＢＭは
　直角であるから、

• 命題３ー１８ （接点への半径は接線に垂直）
  による。
• 　∠ＫＡＭ＝∠ＫＢＭ＝∠Ｒ
  となっている。

残りの角ＡＫＢ、ＡＭＢの和は
　２直角に等しい。

• 公理１ー３ （等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＡＫＢ＋∠ＡＭＢ＝２∠Ｒ
  となっている。

ところが
角ＤＥＧ、ＤＥＦの和も
　２直角に等しい。

• 命題１ー１３ （直線と２直角１）
  による。
• 　∠ＤＥＧ＋∠ＤＥＦ＝２∠Ｒ
  となっている。

それゆえ
角ＡＫＢ、ＡＭＢの和は
　角ＤＥＧ、ＤＥＦの和に等しく、

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＡＫＢ＋∠ＡＭＢ＝∠ＤＥＧ＋∠ＤＥＦ
  となっている。

そのうち
角ＡＫＢは
　角ＤＥＧに等しい。

• (a) による。
• 　∠ＡＫＢ＝∠ＤＥＧ
  となっている。

ゆえに
残りの角ＡＭＢは
　残りの角ＤＥＦに等しい。

• 公理１ー３ （等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＡＭＢ＝∠ＤＥＦ
  となっている。

同様にして
角ＬＮＢが
　角ＤＦＥに等しい
　ことも証明されうる。
したがって
残りの角ＭＬＮも
　角ＥＤＦに等しい。

• 命題１ー３２ （三角形の内対角・内角の和）、
  公理１ー３（等しいものから等しいものをひく）
  による。
• 　∠ＬＮＢ＝∠ＤＦＥ、
  　∠ＭＬＮ＝∠ＥＤＦ
  となっている。

ゆえに
三角形ＬＭＮは
　三角形ＤＥＦに等角である。

• 定義の補足（命題４ー２）(等角)
  による。
• 　△ＬＭＮ（等角）△ＤＥＦ
  となっている。

　そして円ＡＢＣに外接されている。

• 定義４ー４（外接(円に)）
  による。
• 　△ＬＭＮ;（外接）円ＡＢＣ
  となっている。

よって
　与えられた円に
　与えられた三角形に等角な
　三角形が外接された。
これが作図すべきものであった。

• 命題４ー３は、
  　円ＡＢＣ、
  　△ＤＥＦ
  に対して、
  　点Ｇ[延長ＦＥ]、
  　点Ｈ[延長ＥＦ]、
  　中心Ｋ.円ＡＢＣ、
  　点Ｂ[円周ＡＢＣ]、
  　点Ａ(円周ＡＢＣ;∠ＢＫＡ＝∠ＧＥＤ,同向側(ＢＫ,ＧＥ,Ｄ))、
  　点Ｃ(円周ＡＢＣ;∠ＢＫＣ＝∠ＨＦＤ,反対側(ＢＫ,Ａ))、
  　交点Ｍ(接線(Ａ,円ＡＢＣ),接線(Ｂ,円ＡＢＣ))、
  　交点Ｎ(接線(Ｂ,円ＡＢＣ),接線(Ｃ,円ＡＢＣ))、
  　交点Ｌ(接線(Ｃ,円ＡＢＣ),接線(Ａ,円ＡＢＣ))
  をとれば、
  　△ＬＭＮ（等角）△ＤＥＦ、
  　△ＬＭＮ;（外接）円ＡＢＣ
  のことである。
• 命題４ー３は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		4-4,補(理1-5),補(題4-2)
  公準	1-1,1-1補,1-2
  公理		1-1,1-2,1-3
  命題	1-23,1-31補2,3-1,3-2補,3-16補3	1-13,1-22補,1-32,3-16系,3-18
  その他

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