ユークリッド原論をどう読むか（７）
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ユークリッド原論

第３巻

命題３ー２５（作図.切片から円を描く）
円の切片が
　与えられたとき、
　その切片を含む
　　完全な円を
　描くこと。

• 円は、 定義１ー１５ による。
• 切片は、 定義３ー６ による。
• 含むは、 定義３ー１１の補足 による。

ＡＢＣを
　円の与えられた切片とせよ。

• 　切片ＡＢＣ
  をとっている。

このとき
　切片ＡＢＣを含む
　　完全な円を
　描かなければならぬ。


ＡＣが
　Ｄで２等分され、

• 命題１ー１０ （作図・線分の２等分）
  による。
• 　中点Ｄ(ＡＣ)
  をとっている。

　点Ｄから
　ＡＣに直角に
　ＤＢがひかれ、 【・・・(a)】

• 命題１ー１１ 作図・線分からの垂線）
  による。
  命題３ー２ （弦は円の内部）
  により
  　Ｄは円の内部の点であり、
  　 命題３−２の補足 (円内通過直線は円周と２交点)
  により、
  この直線は
  　弧ＡＣと１点で交わる。
  その点をＢとし、
  　Ｂを溯って用いている。
• 　交点Ｂ(弧ＡＣ,垂線(Ｄ,ＡＣ))
  をとっている。

　ＡＢが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＡＢ
  をとっている。

そうすれば
角ＡＢＤは
　角ＢＡＤより
　大きいか
　等しいか
　小さいか
　である。

• 公理１ー７の補足 （線分・角は大か等か小）
  による。
  次の作図のための
  　場合分けであるが、
  　結果的には
  　この場合分けは必要がない。
  後世の、
  　原論解説者の説明が
  　本文として紛れ込んだ
  　のではないかと思われる。

まず 大きいとし、

• 場合分けの第１である。
• 　∠ＡＢＤ＞∠ＢＡＤ
  となっている。

　線分ＡＢ上に
　その上の点Ａにおいて
　角ＡＢＤに等しく
　角ＢＡＥがつくられたとし、 【・・・(b)】

• 命題１ー２３ （作図・直線上に指定された角）
  による。
  
• 　∠ＢＡＥ(半直線ＡＢ,∠ＡＢＤ,同側(ＡＢ,Ｄ))
  をとっている。

ＤＢが
　Ｅまで延長され、

• まず、 直線ＡＥが
  　ＢＤと交わるかどうかが
  　問題となる。
  (a) により
  角ＡＤＢ（の接角）が
  　直角であるから、
  　 命題１ー１６ （外角と内対角）
  により
  角ＡＢＤは
  　ＡＤＢ（の接角）より小さい。
  公理１ー８の補足２ （等より大・小、大・小に等）
  により
  ＡＢＤは
  　直角より小さい。
  公理１ー４の補足３ （大きい（小さい）ものどうしを加える） 、
  　 定義の補足（公理１ー５） （同じもののｎ倍）
  によって、
  角ＡＢＤとＢＡＥの和は
  　２直角より小さい。
  公準１ー５ （平行線公準）
  により、
  ＢＤとＡＥは
  　交わる。
  その交点をＥとして、
  　溯って用いている。
  線分ＢＤの延長は、
  　 公準１ー２ （作図.直線の延長）
  による。
• 　交点Ｅ(ＢＤ,ＡＥ)
  をとっている。

ＥＣが
　結ばれたとせよ。

• 公準１ー１ （作図.直線）
  による。
• 　線分ＥＣ
  をとっている。

そうすれば
角ＡＢＥは
　角ＢＡＥに等しいから、

• (b) による。

線分ＥＢも
　ＥＡに等しい。 【・・・(1)】

• 命題１ー６ （等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
  　∠ＡＢＥ＝∠ＢＡＥ
  となっている。

そして
ＡＤは
　ＤＣに等しく、

• (a) による。
  　ＡＤ＝ＤＣ
  となっている。

ＥＤは
　共通であるから
２辺ＡＤ、ＤＥは
　２辺ＣＤ、ＤＥにそれぞれ等しい。

• 　(ＡＤ、ＤＥ)＝(ＣＤ、ＤＥ)
  となっている。

そして
角ＡＤＥは
　角ＣＤＥに等しい。
なぜなら
　双方とも
　直角であるから。

• (a) による。
• 「なぜなら・・・であるから」については、
  　コメント２（命題１ー１６）を参照のこと。
• 　∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＥ＝∠Ｒ
  となっている。

それゆえ
底辺ＡＥは
　底辺ＣＥに等しい。

• 命題１ー４ （２辺挟角相等）
  による。
• 　ＡＥ＝ＣＥ
  となっている。

ところが
ＡＥが
　ＢＥに等しい
　ことは先に証明された。

• (1) による。
• 　ＡＥ＝ＥＢ
  となっている。

ゆえに
ＢＥも
　ＣＥに等しい。

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。
• 　ＢＥ＝ＣＥ
  となっている。

したがって
　ＡＥ、ＥＢ、ＥＣの１つを
　　半径として
　円が描かれれば、
　残りの点をも通り、
完全な円が
　描かれるであろう。

• 命題３ー１０の補足 （３点共有で円が一致）
  による。
• 　弧ＡＢＣ;上.円周(Ｅ,ＥＢ)
  となっている。

ゆえに
　円の切片が与えられたとき、
　完全な円が描かれた。

• ここまでで
  　命題の証明は完結している。
  ここ以降の
  　半円より
  　　大きいか小さいかは
  　余分である。
  場合分けは
  　余分な部分に関係している。
  後世の、
  　原論解説者の説明が
  　本文として紛れ込んだ
  　のではないかと思われる。

そして
　中心Ｅが
　切片の外部にあることによって、
切片ＡＢＣが
　半円より小さいことは明らかである。

• 定義１ー１８ （半円） 、
  公理１ー８ （大きい）
  による。
• 　切片ＡＢＣ;内側.半円(Ｅ,直径(ＡＥ))
  となっている。

　


同様にして
　たとえ
角ＡＢＤが
　角ＢＡＤに等しくても、

• 場合分けの第二である。
• 　∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＤ
  となっている。

ＡＤは
　ＢＤ、ＤＣの双方に等しいから、

• 命題１ー６（等しい底角なら二等辺三角形）
  による。
• 　ＡＤ＝ＢＤ＝ＤＣ
  となっている。

ＤＡ、ＤＢ、ＤＣの３つは
　互いに等しく、

• 公理１ー１ （同じものに等しい）
  による。

Ｄは
　完結された円の中心であり、
ＡＢＣは
　明らかに
　半円になるであろう。

• 命題３ー１０の補足 （３点共有で円が一致）、
  公理１ー７ （等しい）
  による。
• 　切片ＡＢＣ;半円(Ｄ,直径ＡＣ)
  となっている。

ところがもし
角ＡＢＤが
　角ＢＡＤより小さく
、

• 場合分けの第３である。
• 　∠ＡＢＤ＜∠ＢＡＤ
  となっている。

　線分ＢＡ上に
　その上の点Ａにおいて
　角ＡＢＤに等しい角をつくるならば、

• 命題１ー２３ （作図・直線上に指定された角）
  による。
• 　∠ＢＡＥ(半直線ＡＢ,∠ＡＢＤ,同側(ＡＢ,Ｄ)) をとっている。

中心は
　切片ＡＢＣの内部に
　ＤＢ上におち、

• 半直線ＡＥが
  　角ＢＡＥの内部あることによる。
• 　交点Ｅ(ＡＥ,ＤＢ);内部.切片ＡＢＣ
  となっている。

切片ＡＢＣは
　明らかに
　半円より大きいであろう。

• 定義１ー１８ （半円）、
  公理１ー８ （大きい）
  による。
• 　半円(Ｅ,直径(ＡＥ));内側.切片ＡＢＣ
  となっている。

［したがって、

３つの場合の結果により
　円の切片が与えられたとき、
　完全な円が描かれた。］
よって
　円の切片が
　与えられたとき、
　その切片を含む
　　完全な円が
　描かれた。
これが作図すべきものであった。

• 命題３ー２５は、
  　切片ＡＢＣ
  に対して、
  　中点Ｄ(ＡＣ)、
  　交点Ｂ(弧ＡＣ,垂線(Ｄ,ＡＣ))、
  　線分ＡＢ、
  　∠ＢＡＥ(半直線ＡＢ,∠ＡＢＤ,同側(ＡＢ,Ｄ))、
  　交点Ｅ(ＢＤ,ＡＥ)、
  をとれば、
  　弧ＡＢＣ;上.円周(Ｅ,ＥＡ)
  のことである。
• 命題３ー２５は作図用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		1-18 ,補(理1-5)
  公準	1-1 ,1-2 ,1-5
  公理		1-1 ,1-4補3 ,1-7 ,1-7補 ,1-8 ,1-8補2 ,
  命題	1-10 ,1-23 ,3-2補	1-4 ,1-6 ,1-16 ,3-2 ,3-10補
  その他		(場合分け),コ2(題1-16)f

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