ユークリッド原論をどう読むか（１６）
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ユークリッド原論

第１１巻
　
命題１１ー８（平行線の一方が平面に垂直なら他方も垂直）
もし
　２直線が
　　平行であり，
　それらの一方が
　　　ある平面に対し
　　垂直である
ならば，
　残りの直線も
　　同じ平面に対し垂直であろう。

• 直線は、
  定義１ー４による。
• 平行は、
  定義１ー２３による。
• 平面は、
  定義１ー７による。
• 垂直は、
  定義１ー１０の補足２による。

　　ＡＢ,ＣＤを二つの平行線とし，
　それらの一方ＡＢが
　　基準平面に垂直である
とせよ。

• 　命題１１ー７の補足(作図.空間に平行線)
  により、
  　ＡＢ、ＣＤをとり、
  　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  により、
  　　ＡＢ、ＣＤを含む平面上Ｐで、
  　　Ｂから垂線をひき、
  　　ＣＤとの交点をＤとする。
  　公準１ー１の補足（作図.任意の点をとる）
  により、
  　　点Ｚを平面Ｐの外にとり、
  　命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
  により、
  　　ＡＢ、Ｚをとおる平面Ｑをとる。
  　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）
  により、
  　　Ｑ上にＢを通る垂線ＢＹをとる。
  　　命題１１ー２の補足(作図.交わる２直線、１直線上にない３点、１直線とその上にない１点で平面が決定)
  により、
  　　ＢＤ、ＢＹを含む基準平面Ｒをとる。
  
• 　ＡＢ⊥基準平面Ｒ
  となっている。

　残りの直線ＣＤも
　　同じ平面に対し垂直であろう
と主張する。

　ＡＢ,ＣＤは
　　基準平面に点Ｂ,Ｄで交わる
とし，
　ＢＤが
　　結ばれた
とせよ。
　　　　[......(１)]

• 　前節、
  　公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　Ｂ（交点；ＡＢ、基準面Ｒ）、
  　Ｄ（交点；ＣＤ、基準面Ｒ）
  となっている。

そうすれば
　ＡＢ,ＣＤ,ＢＤは
　　一平面上にある。

• 　前節、
  　命題１１ー７（平行直線上の点を結ぶと同一平面上）
  による。
• 　ＡＢ、ＣＤ、ＢＤ；同一平面上
  となっている。

　ＤＥが
　　　基準平面上に
　　ＢＤに対し垂直にひかれた
とし，
　ＤＥが
　　ＡＢに等しくされ，
　ＢＥ,ＡＥ,ＡＤが
　　結ばれた
とせよ。
　　　　[......(３)]

• 　命題１ー１１（作図・線分からの垂線）、
  　命題１ー３（作図・等しい線分を切り取る）、
  　公準１ー１（作図.直線）
  による。
• 　ＤＥ⊥ＢＤ、基準面上、
  　ＤＥ＝ＡＢ
  となっている。

そうすれば
　ＡＢは
　　基準平面に対し垂直である

• 　命題の設定
  による。
• 　ＡＢ⊥基準平面
  となっている。

から，
　ＡＢは
　　それと会し
　　かつ
　　基準平面上にある
　　　すベての直線に対し
　　垂直である。

• 　前節、
  　定義１１ー３（直角(直線・平面)）
  による。
• ＡＢ⊥直線（基準平面；Ｂ通過）
  となっている。

それゆえ
　角ＡＢＤ、ＡＢＥの双方は
　　直角である。
　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　定義１１ー３（直角(直線・平面)）
  による。
• 　∠ＡＢＤ；∠Ｒ、
  　∠ＡＢＥ；∠Ｒ
  となっている。

そして
　線分ＢＤは
　　平行線ＡＢ、ＣＤと交わる

• 　（１）
  による。
• 　ＢＤ；（交わる）ＡＢ、ＣＤ
  となっている。

から、
　角ＡＢＤ、ＣＤＢの和は
　　２直角に等しい。

• 　前節、
  　命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
  による。
• 　∠ＡＢＤ＋∠ＣＤＢ＝２∠Ｒ
  となっている。

ところが
　角ＡＢＤは
　　直角である。

• 　（２）
  による。
• 　∠ＡＢＤ＝∠Ｒ
  となっている。

ゆえに
　角ＣＤＢも
　　直角である。
　　　　[......(４)]

• 　前節、前々節
  による。
• 　∠ＡＢＤ＝∠Ｒ
  となっている。

したがって
　ＣＤは
　　ＢＤに対し垂直である。

• 　前節、
  　定義１ー１０の補足２（垂直）
  による。
• 　ＣＤ⊥ＢＤ
  となっている。

そして
　ＡＢは
　　ＤＥに等しく，
　ＢＤは
　　共通である

• 　（３）
  による。
• 　ＡＢ＝ＤＥ、
  　ＢＤ；共通
  となっている。

から，
　２辺ＡＢ,ＢＤは
　　２辺ＥＤ,ＤＢに等しい。

• 　前節
  による。
• 　（ＡＢ、ＢＤ）＝（ＥＤ、ＤＢ）
  による。

そして
　角ＡＢＤは
　　角ＥＤＢに等しい。
なぜなら
　双方は
　　直角である
から。

• 　（２）、 （３）
  による。
• 　∠ＡＢＤ＝∠ＥＤＢ
  となっている。

したがって
　底辺ＡＤは
　　底辺ＢＥに等しい。

• 　前節、前々節、
  　命題１ー４（２辺挟角相等）
  による。
• 　ＡＤ＝ＢＥ
  となっている。

そして
　ＡＢは
　　ＤＥに等しく，
　ＢＥは
　　ＡＤに等しい

• 　前節、 （３）
  による。
• 　ＡＢ＝ＤＥ、
  　ＢＥ＝ＡＤ
  となっている。

から，
　２辺ＡＢ,ＢＥは
　　２辺ＥＤ,ＤＡにそれぞれ等しい。
そして
　ＡＥは
　　それらに共通な底辺である。

• 　前節
  による。
• 　（ＡＢ、ＢＥ）＝（ＥＤ、ＤＡ）
  　ＡＥ；共通
  となっている。

それゆえ
　角ＡＢＥは
　　角ＥＤＡに等しい。

• 　前節、
  　命題１ー８の補足（３辺相等による合同）
  による。
• 　∠ＡＢＥ＝∠ＥＤＡ
  となっている。

ところが
　角ＡＢＥは
　　直角である。

• 　（２）
  による。
• 　∠ＡＢＥ＝∠Ｒ
  となっている。

ゆえに
　角ＥＤＡも
　　直角である。

• 　前節、前々節、
  　公理１ー１（同じものに等しい）
  による。
• 　∠ＥＤＡ＝∠Ｒ
  となっている。

したがって
　ＥＤは
　　ＡＤに対し垂直である。

• 　前節
  による。
• 　ＥＤ⊥ＡＤ
  となっている。

そして
　　ＤＢにも垂直である。

• 　（３）
  による。
• 　ＥＤ⊥ＤＢ
  となっている。

したがって
　ＥＤは
　　ＢＤ,ＤＡを通る面にも垂直である。

• 　前節、前々節、
  命題１１ー４（交わる２直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直）
  による。
• 　ＥＤ⊥平面（ＢＤ、ＤＡ）
  となっている。

それゆえ
　ＥＤは
　　それと会し
　　かつ
　　ＢＤ,ＤＡを通る平面上にある
　　すベての直線に対し直角をなす
であろう。

• 　前節、
  　定義１１ー３（直角(直線・平面)
  による。
• 　ＥＤ⊥直線（平面（ＢＤ、ＤＡ；）；（交わる）ＥＤ）

ところが
　ＤＣは
　　ＢＤ,ＤＡを通る平面上にある，
なぜなら
　ＡＢ,ＢＤは
　　ＢＤ,ＤＡを通る平面上にあり，
そして
　ＡＢ,ＢＤが
　　いかなる平面上にあろうと，
　ＤＣも
　　同じ平面上にある
から。

• 　命題の設定、
  　命題１１ー２（交わる２直線、三角形は同一平面上）
  　定義１ー２３（平行(線)）
  　 による。
• 　ＤＣ；平面（ＢＤ、ＤＡ）上
  となっている。

ゆえに
　ＥＤは
　　ＤＣに対し垂直である。

• 　前節、
  　定義１１ー３（直角(直線・平面)
  による。
• 　ＥＤ⊥ＤＣ
  となっている。

したがって
　ＣＤも
　　ＤＥに対し垂直である。

• 　前節、
  　定義１ー１０（直角）
  　定義１ー１０の補足２（垂直）
  による。
• ＣＤ⊥ＤＥ
  となっている。

しかも
　ＣＤも
　　ＢＤに対し垂直である。

• 　（４）
  による。
• 　ＣＤ⊥ＢＤ
  となっている。

それゆえ
　ＣＤは
　　互いに交わる
　　　２線分ＤＥ,ＤＢに対し
　　交点Ｄから垂直に立てられた。

• 　前節、前々節、 （３）
  による。
• 　ＣＤ⊥ＤＥ、ＤＢ
  となっている。

ゆえに
　ＣＤは
　　　ＤＥ,ＤＢを通る平面に対しても
　　垂直である。

• 　前節、
  　定義１１ー３（直角(直線・平面)）
  　定義１１ー３の補足(垂直（空間）)
  による。
• 　ＣＤ⊥平面（ＤＥ、ＤＢ；）
  となっている。

　
ところが
　ＤＥ,ＤＢを通る面は
　　基準平面である。

• 　（１） （３）
  による。
• 　平面（ＤＥ、ＤＢ；）；基準平面
  となっている。

したがって
　ＣＤは
　　基準平面に対し垂直である。

• 　前節、前々節
  による。
• 　ＣＤ⊥基準平面
  となっている。

• 命題１１ー８は、
  　ＡＢ‖ＣＤ、
  　ＡＢ⊥基準平面、
  　Ｂ、Ｄ；基準平面上
  のとき、
  　Ｅ（基準平面；ＢＤ⊥ＤＥ、ＤＥ＝ＡＢ）
  をとると、
  　∠ＣＤＢ＝∠Ｒ
  　∠ＡＢＥ＝∠ＥＤＡ＝∠Ｒ
  となり、
  　ＥＤ⊥面（ＢＤ、ＤＡ）
  　ＣＤ⊥基準平面
  のことである。
  
• 命題１１ー８は推論用命題である。

  前提	作図・構成	推論
  定義		1-10,1-10補2,1-12補2,1-23,11-3,11-3補
  公準	1-1,1-1補
  公理		1-1
  命題	1-3,1-11,11-2補,11-7補	1-4,1-8補,1-29,11-2,11-4,11-7
  その他

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