ユークリッド原論をどう読むか(16)
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ユークリッド原論

第11巻
 
命題11ー6(同一平面に垂直な2直線は平行)
もし
 2直線
   同一平面に対し
  垂直である
ならば,
 それらの2直線
  平行であろう。



 2直線AB,CDが
  基準平面垂直である
とせよ。

 ABは
  CDに平行である
と主張する。

  基準平面B,Dで交わる
とし,

 線分BDが
  結ばれ,
   BDに垂直
   基準平面上に
 DEが
  ひかれ,
 DEが
  ABに等しくされ,
 BE,AE,ADが
  結ばれた
とせよ。
    [......(1)]


そうすれば
 ABは
  基準平面垂直である
から,
  それと会し
  かつ
  基準平面上にある
   すベての線分に対しても
 直角をなす。

ところが
 BD,BEの双方は
  基準平面上にあり
  ABと会する。

それゆえ
 ABD, ABEの双方は
  直角である。

同じ理由で
 CDB,CDEの双方も
  直角である。

そして
 ABは
  DEに等しく,
 BDは
  共通である

から,
 2AB,BDは
  2ED,DBに等しい。
そして
  直角をはさむ。

ゆえに
 底辺ADは
  底辺BEに等しい。

そして
 ABは
  DEに,
 他方ADも
  BEに等し

から,
 2AB,BEは
  2ED,DAに等しい。
そして
 AEは
  それらの共通な底辺である。

したがって
 ABEは
  EDAに等しい。

そして
 ABEは
  直角である。

それゆえ
 EDAも
  直角である。

ゆえに
 EDは
  DAに垂直である。

ところが
   BD,DCの双方に対しても
  垂直である。

したがって
 EDは
   3線分BD,DA,DCに対し
  交点において垂直に立てられた。

それゆえ
 3線分BD,DA,DCは
  一平面上にある。

ところが
 DB,DAが
  いかなる平面上にあろうと,
 ABも
  同じ平面上にある。
なぜなら
 すべての三角形
  一平面上にあるから。

ゆえに
 線分AB,BD,DCは
  一平面上にある。

そして
 ABD,BDCの双方は
  直角である。

したがって
 ABは
  CDに平行である。


よって
もし
 2直線
  同一平面に対し垂直である
ならば,
 それらの2直線
  平行であろう。

これが証明すべきことであった。

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