ユークリッド原論をどう読むか（１３）
頁末 　　 前 　　 次 　　 目次

ユークリッド原論

第８巻
　
命題９ー４（立方数の積は立方数）
（構成.立方数の積） もし
　立方数が
　立方数にかけてある数をつくる
ならば、
　その積は立方数であろう。

• 立方数は、
  定義７ー２０による。
• かけるは、
  定義７ー１６による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• 積は、
  定義７ー１６の補足２による。

　立方数Ａが
　立方数ＢにかけてＣをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｅ、Ｆがあって、
  　Ａ＝Ｅ^3、Ｂ＝Ｆ^3、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

　Ｃは立方数である
と主張する。

　Ａが２乗してＤをつくる
とせよ。

• 　Ａ^2＝Ｄ
  となっている。

そうすれば
　Ｄは立方数である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、 命題の設定、
  　命題９ー３（立方数の２乗は立方数）
  による。
  
• 　数Ｇがあって、
  　Ｄ＝Ｇ^3
  となっている。
  　実際は、
  　Ｇ＝Ｅ^2
  である。
  

そして
　Ａが２乗してＤをつくり、
　ＢにかけてＣをつくった

• 　命題の設定による。
• 　Ａ^2＝Ｄ、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　ＡがＢに対するように、
　ＤがＣに対する。

• 　前節、
  　命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｃ
  となっている。

そして
　Ａ、Ｂは立方数である

• 　命題の設定による。

から、
　Ａ、Ｂは相似な立体数である。

• 　前節、
  　命題８ー２５の補足（立方数は相似）
  による。
  
• 　Ａ＝Ｅ^3、
  　Ｂ＝Ｆ^3
  となっている。
  

それゆえ
　Ａ、Ｂの間には
　２つの比例中項数が入る。

• 　前節。
  　命題８ー１９の補足（構成.相似な立体数の比例中項）
  による。
  
• 　Ａ：Ａ／Ｅ×Ｆ
  　＝Ａ／Ｅ×Ｆ：Ａ／Ｅ^2×Ｆ^2
  　＝Ａ／Ｅ^2×Ｆ^2：Ｂ
  となっている。
  

ゆえに
　Ｄ、Ｃの間にも
　２つの比例中項数が入る
であろう。

• 　前節、
  　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  による。
  
• 　Ｄ(Ａ^2)：Ｄ／Ｅ×Ｆ
  　＝Ｄ／Ｅ×Ｆ：Ｄ／Ｅ^2×Ｆ^2
  　＝Ｄ／Ｅ^2×Ｆ^2：Ｃ(Ａ×Ｂ)
  となっている。
  

そして
　Ｄは立方数である。

• 　（１）による。

よって
　Ｃも立方数である。

• 　前節、前々節、
  　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 　証明の過程から
  　以下のことがわかる。
  　Ａ＝Ｅ^3、Ｂ＝Ｆ^3として、
  　Ａ^2とＡ×Ｂは、
  　辺の比がＥ：Ｆの
  　相似な立体数
  だから、
  　命題８ー２１の補足（構成.相似な立体数の辺）
  により、
  　Ａ×Ｂ＝（Ｅ×Ｆ）^3
  となっている。
  (以下、命題９ー４の補足（構成.立方数の積）という。)
  
• 命題９ー４は、
  　Ａ、Ｂ；立方数、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  ならば、
  　Ｃ；立方数
  のことである。
  
• 命題９ー４の補足（構成.立方数の積）

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-21補	9-4
  その他

• 命題９ー４は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-8補,8-19補	7-17,8-23,8-25補,9-3
  その他	コ4(題7-1)

前 　　 次 　　 目次 　　頁頭