ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー５（立方数との積が立方数なら立方数）
もし
　立方数が
　ある数にかけて
　立方数をつくる
ならば、
　かけられた数も立方数
であろう。

• 立方数は、
  定義７ー２０による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• かけるは、
  定義７ー１６による。

　立方数Ａが
　ある数Ｂにかけて
　立方数Ｃをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｅ、Ｆがあって、
  　Ａ＝Ｅ^3、Ｃ＝Ｆ^3
  となっている。
  

　Ｂは立方数である
と主張する。

　Ａが２乗してＤをつくる
とせよ。
　　　　　　[......(ａ)]

• 　Ａ^2＝Ｄ
  となっている。
  

そうすれば
　Ｄは立方数である。
　　　　　　[......(１)]

• 　前節、 命題の設定、
  　命題９ー３（立方数の２乗は立方数）
  による。
  
• 　Ａ＝Ｅ^3、
  　ＤはＡと相似な立体数で
  　各辺は１対Ｅの比になっている
  から、
  　Ｄ＝（Ｅ^2）^3
  となっている。
  

そして
　Ａが２乗してＤをつくり、
　ＢにかけてＣをつくった

• 　（ａ）、 命題の設定による。
• 　Ａ^2＝Ｄ、Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

から、
　ＡがＢに対するように、
　ＤがＣに対する。
　　　　　　[......(２)]

• 　前節、
  　命題７ー１７（同数を各項にかけても比は同じ）
  による。
  
• 　Ａ：Ｂ＝Ｄ：Ｃ
  となっている。
  

そして
　Ｄ、Ｃは立方数である

• 　（１）、 命題の設定による。
• 　Ｄ＝(Ｅ^2)^3、Ｃ＝Ｆ^3
  となっている。

から、
　相似な立体数である。

• 　前節、
  　命題８ー２５の補足（立方数は相似）
  による。
  
• 　前節、
  命題の設定により、
  　Ａ、Ｃ、Ｄは立方数
  であるから、
  　命題８ー２５（３項立方数の比例の第４項）
  により、
  　Ｂが立方数である
  とわかり、
  ここで、証明が完了する。
  

それゆえ
　Ｄ、Ｃの間には
　２つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー１９の補足（構成.相似な立体数の比例中項）
  により、
  　Ｄ＝(Ｅ^2)^3、Ｃ＝Ｆ^3について、
  　Ｄ：(Ｅ^2)^2×Ｆ
  　＝(Ｅ^2)^2×Ｆ：(Ｅ^2)×Ｆ^2
  　＝(Ｅ^2)×Ｆ^2：Ｃ
  となっている。
  

そして
　ＤがＣに対するように、
　ＡがＢに対する。

• 　（２）による。

ゆえに
　Ａ、Ｂの間にも
　２つの比例中項数が入る。

• 　前節、
  　命題８ー８（同じ順次比例での項の挿入）
  による。
  
• 　命題８ー８の補足（構成.順次比例項の挿入）
  により、
  　Ａ：Ａ／Ｅ^2×Ｆ
  　＝Ａ／Ｅ^2×Ｆ：Ａ／Ｅ^4×Ｆ^2
  　＝Ａ／Ｅ^4×Ｆ^2：Ｂ
  となっている。
  

そして
　Ａは立方数である。

• 　命題の設定による。

よって
　Ｂも立方数である。

• 　前節、
  　命題８ー２３（順次比例と立方数）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー５は、
  　Ａ；立方数、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ；立方数
  ならば、
  　Ｂ；立方数
  のことである。
  
• 命題９ー５は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義
  公準
  公理
  命題	8-8補,8-19補	7-17,8-8,8-23,(8-25),8-25補,9-3
  その他	コ4(題7-1)

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