ユークリッド原論をどう読むか（１０）
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ユークリッド原論
第６巻
命題６ー３２（各２辺が比例し平行連結なら残辺が１直線）
もし
２辺が２辺に比例する
２つの三角形が
１つの角によって結ばれ、
それらの対応する辺が平行であるならば、
三角形の残りの辺は
１直線をなすであろう。
２つの三角形ＡＢＣ、ＤＣＥが
２辺ＢＡ、ＡＣが２辺ＤＣ、ＤＥに比例し、
ＡＢがＡＣに対するように、
ＤＣがＤＥに対し、
ＡＢがＤＣに、
ＡＣがＤＥに平行であるとせよ。
-
△ＡＢＣに対し、
命題１ー３１（作図・平行線）
により
点Ｄ[平行線(Ｃ,ＢＡ)]
をとり、
命題１ー３１（作図・平行線）
により
平行線ＤＥ"(Ｄ,ＡＣ)
をとり、
命題６ー１２（作図.比例第４項）
により
線分Ｄ'Ｅ'[;;ＡＢ：ＡＣ＝ＤＣ：Ｄ'Ｅ']
をとり、
命題１ー３の補足（作図.等しい線分となる点）
により
点Ｅ(ＤＥ";;ＤＥ＝Ｄ'Ｅ')
をとる。
公準１ー１（作図.直線）
により
線分ＣＥ
をとり、
△ＤＣＥをつくる。
-
△ＡＢＣ
に対し、
点Ｄ[平行線(Ｃ,ＢＡ)]、
点Ｅ(平行線(Ｄ,ＡＣ);;ＡＢ：ＡＣ＝ＤＣ：ＤＥ)、
△ＤＣＥ
をつくる。
ＢＣは
ＣＥと１直線をなす
と主張する。
ＡＢは
ＤＣに平行であり、
線分ＡＣがそれらに会するから、
錯角ＢＡＣ、ＡＣＤは互いに等しい。
【・・・(1)】
-
命題１ー２９（平行と錯角、内対角、同側内角）
による。
-
∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＤ
となっている。
同じ理由で角ＣＤＥも角ＡＣＤに等しい。
それゆえ
角ＢＡＣも角ＣＤＥに等しい。
【・・・(2)】
-
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＥ
となっている。
そして
ＡＢＣ、ＤＣＥは
１つの角、
すなわち
角Ａが
１つの角、
すなわち
角Ｄに等しく、
-
(2)による。
-
∠ＢＡＣ＝∠ＣＤＥ
となっている。
等しい角をはさむ辺が比例し、
ＢＡがＡＣに対するように、
ＣＤがＤＥに対する
２つの三角形であるから、
-
命題の設定による。
-
ＢＡ：ＡＣ＝ＣＤ：ＤＥ
となっている。
三角形ＡＢＣは
三角形ＤＣＥに等角である。
-
命題６ー６（２辺が比例し挟角が等しい三角形は等角）
による。
-
△ＡＢＣ(等角)△ＤＣＥ
となっている。
ゆえに
角ＡＢＣは角ＤＣＥに等しい。
ところが
角ＡＣＤも角ＢＡＣに等しい
ことが先に証明された。
-
(1)による。
-
∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ
となっている。
したがって
角ＡＣＥ全体は
２角ＡＢＣ、ＢＡＣの和に等しい。
-
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）、
公理１ー７（等しい）
による。
-
∠ＡＣＥ＝∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ
となっている。
双方に
角ＡＣＢが加えられたとせよ。
そうすれば
角ＡＣＥ、ＡＣＢの和は
角ＢＡＣ、ＡＣＢ、ＣＢＡの和に等しい。
-
公理１ー２（等しいものに等しいものを加える）
による。
-
∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＣＢＡ
となっている。
ところが
角ＢＡＣ、ＡＢＣ、ＡＣＢの和は
２直角に等しい。
-
命題１ー３２（三角形の内対角・内角の和）
による。
-
∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＋∠ＣＢＡ＝２∠Ｒ
となっている。
それゆえ
角ＡＣＥ、ＡＣＢの和も２直角に等しい。
-
公理１ー１（同じものに等しい）
による。
-
∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＢ＝２∠Ｒ
となっている。
ゆえに
線分ＡＣに対して
そのうえの点Ｃにおいて
同じ側にない２直線ＢＣ、ＣＥが
接角ＡＣＥ、ＡＣＢの和を
２直角に等しくする。
したがって
ＢＣはＣＥと１直線をなす。
-
命題１ー１４（直線と２直角２）
による。
-
点Ｅ;上.延長ＢＣ
となっている。
よってもし
２辺が２辺に比例する
２つの三角形が
１つの角によって結ばれ、
それらの対応する辺が平行であるならば、
三角形の残りの辺は
１直線をなすであろう。
これが証明すべきことであった。
- 命題６ー３２は、
△ＡＢＣ
に対し、
点Ｄ[平行線(Ｃ,ＢＡ)]、
点Ｅ(平行線(Ｄ,ＡＣ);;ＡＢ：ＡＣ＝ＤＣ：ＤＥ)、
△ＤＣＥ
をとれば、
Ｅ;上.延長ＢＣ
のことである。
- 命題６ー３２は推論用命題である。
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