ユークリッド原論をどう読むか（９521）
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ユークリッド原論
第５巻
命題５ー２１（乱比例の等間隔項の大等小）
もし
３つの量と
それらと同じ個数の別の量とがあり、
２つずつとられたとき同じ比をなし、
それらの比例が《いれかえれる》［乱比例］ならば、
等間隔比により
第１が第３より大きければ、
第４も第６より大きく、
等しければ、等しく、
小さければ、小さいであろう。
- 量は、定義５ー１の補足
による。
- 個数は、定義５ー１７の補足
による。
- 同じ比は、定義５ー５
による。
- 比例は、定義５ー６
による。
- 乱比例は、定義５ー１８
による。
中村他訳の原論においては、
錯比と乱比例が
ともに
「いれかえて」と
同じ動詞で表現されているが
Euclid's Elements
（Clark University Professor D.E.Joyceの
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
においては、
錯比は、
they are also proportional alternately
というように表現され、
乱比例は、
the proportion of them is perturbed
というように表現され、
明確に区別される。
- 等間隔比は、定義５ー１７
による。
- 大きいは、公理１ー８
による。
- 等しいは、公理１ー７
による。
- 小さいは、公理１ー８の補足
による。
３つの量Ａ、Ｂ、Ｃと
それらと同じ個数の別の量Ｄ、Ｅ、Ｆとがあり、
２つずつとられたとき
同じ比《をなすとし》［であり］、
それら《の比例がいれかえれ、》
［が乱比例をなし、］
すなわちＡがＢに対するように、
ＥがＦに対し、
ＢがＣに対するように
ＤがＥに対し、
ＡがＣより大きいとせよ。
-
Euclid's Elements
（Clark University Professor D.E.Joyceの
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html）
においては、
･･･,
which taken two and two are in the same ratio,
and let the proportion of them be perturbed,
so that ･･･
となっている。
- 同じ比をもつ線分の作図（仮想的）は、
コメント２（命題５ー４）参照のこと。
-
量Ａ、Ｂ、Ｅ
に対して、
Ｃ[;;Ａ＞Ｃ]、
Ｆ[;;Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ]、
Ｄ[;;Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ]
をとっている。
等間隔比により
ＤもＦより大きく、
［ＡがＣに］等しければ、
［ＤもＦに］等しく、
［ＡがＣより］小さければ、
［ＤもＦより］小さいであろう
と主張する。
ＡはＣより大きく、
Ｂは別の量であるから、
ＡはＢに対し、
ＣがＢに対するより
大きい比をもつ。【・・・(1)】
- 命題５ー８
（量の大小と比の大小）
による。
-
Ａ：Ｂ＞Ｃ：Ｂ
となっている。
ところが
ＡがＢに対するように、
ＥがＦに対し、
逆に
ＣがＢに対するように、
ＥがＤに対する。
それゆえ
ＥがＦに対し、
ＥがＤに対するより
大きい比をもつ。【・・・(2)】
しかも
同一の量が
それに対して
大きい比をもつ量は小さい。
ゆえに
ＦはＤより小さい。
したがって
ＤはＦより大きい。
同様にしてもし
ＡがＣに等しければ、
ＤもＦに等しく、
小さければ、小さい
であろうことを証明しうる。
-
Ａ(＝、＜)Ｃ
ならば、
Ｄ(＝、＜)Ｃ
となっている。
よってもし
３つの量と
それらと同じ個数の別の量とがあり、
２つずつとられたとき
同じ比をなし、
それらの比例が《いれかえれる》［乱比例］ならば、
等間隔比により
第１が第３より大きければ
第４も第６より大きく、
等しければ、等しく、
小さければ、小さいであろう。
これが証明すべきことであった。
- 命題５ー２１は、
Ａ：Ｂ＝Ｅ：Ｆ、
Ｂ：Ｃ＝Ｄ：Ｅ
において、
Ａ＜＝＞Ｃ
ならば、
Ｄ＜＝＞Ｆ
ということである。
- 命題５ー２１は推論用命題である。
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