ユークリッド原論をどう読むか（３）
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ユークリッド原論
第１巻
命題１ー２７（錯角と平行）
錯角
もし
１直線が２直線に交わってなす錯角が
互いに等しければ、
この２直線は互いに平行であろう。
- 直線は、定義１ー４による。
- 交わるは、定義１ー８の補足による。
- 錯角はここで初めて登場する。
１直線が２直線に交わっているとき、
２直線の内側にある四つの角のうち、
互いに同側内角でもなく接角でもない
二つの角を錯角という。
錯角は２組ある。
（以下、定義の補足（命題１ー２７）(錯角)という。）
- 等しいは、公理１ー７による。
- 平行、定義１ー２３による。
直線ＥＦが
２直線ＡＢ、ＣＤに交わり
錯角ＡＥＦ、ＥＦＤを
互いに等しくするとせよ。
-
線分ＡＢ
に対して、
点Ｅ[ＡＢ]、
点Ｆ[外.ＡＢ]、
点Ｄ[反対側(ＥＦ,Ａ);;∠ＥＦＤ＝∠ＡＥＦ]、
点Ｃ[延長ＤＦ]
をとっている。
ＡＢはＣＤに平行であると主張する。
もし平行でなければ、
ＡＢ、ＣＤは延長されて
Ｂ、ＤまたはＡ、Ｃの側［と同じ側］で
交わるであろう。
[
Ｂ、Ｄと同じ側にある場合
]
延長され、
Ｂ、Ｄの側でＧで交わるとせよ。
- Ｂ、Ｄの側で
交わる場合を考えるのである。
-
交点Ｇ(ＡＢ,ＣＤ);同側(ＥＦ,Ｂ)
となっている。
すると
三角形ＧＥＦにおいて
ＡＥＦが内対角ＥＦＧに等しい。
- 命題の設定 による。
-
∠ＡＥＦ＝∠ＥＦＧ
となっている。
これは不可能である。
それゆえ
ＡＢ、ＣＤは延長されて
Ｂ、Ｄの側で交わらないであろう。
- 背理法による。
-
延長ＡＢ¬╂延長ＣＤ
となっている。
[
Ａ、Ｃと同じ側にある場合
]
同様にして
Ａ、Ｃの側でも
交わらないことが証明されうる。
- Ａ、Ｃの側でも交わる場合を
「同様にして」で済ませている。
-
延長ＢＡ¬╂延長ＤＣ
となっている。
そして
[
２つの場合より
]
どちらの側でも交わらない２直線は平行である。
したがって
ＡＢはＣＤに平行である。
よってもし
１直線が
２直線に交わってなす錯角が
互いに等しければ、
この２直線は互いに平行であろう。
これが証明すべきことであった。
-
この命題
は、
公準１ー５（平行線公準）
の裏である次の
命題１ー２８（内対角、同側内角と平行）
と同値である。
- 命題1-27は、
直線ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ
について、
ＥＦ;(╂ＡＢ,╂ＣＤ)、
∠ＡＥＦ＝∠ＥＦＤ、
ならば、
ＡＢ‖ＣＤ
のことである。
- 命題1-27は推論用命題である。
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