ユークリッド原論をどう読むか（１３）
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ユークリッド原論

第９巻
　
命題９ー７（合成数と数の積は立体数）
もし
　合成数がある数にかけて
　ある数をつくる
ならば、
　その積は立体数
であろう。

• 合成数は、
  定義７ー１４による。
• 数は、
  定義７ー２による。
• かけるは、
  定義７ー１６による。
• 積は、
  定義７ー１６の補足２による。
• 立体数は、
  定義７ー１８による。

　合成数Ａがある数Ｂにかけて
　Ｃをつくる
とせよ。

• 　「数（について）・・・とせよ」は、
  　コメント４（命題７ー１）
  　参照のこと。
  
• 　数Ｄ、Ｅがあって、
  　Ａ／Ｄ＝Ｅ、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  　Ｄ、Ｅは後に
  　命題のなかで設定される。
  

　Ｃは立体数である
と主張する。

　Ａは合成数である

• 　命題の設定による。

から、
　何らかの数に割り切られる
であろう。

• 　定義７ー１４（合成数）
  による。

　Ｄに割り切られる
とし、
　ＤがＡを割った商に等しい個数の単位が
　Ｅのなかにある
とせよ。

• 　前節による。
  　Ａ／Ｄ＝Ｅ
  となっている。
  

そうすれば
　ＤがＡを割った商は
　Ｅのなかにある単位の個数である
から、
　ＥはＤにかけてＡをつくった。

• 　命題の補足４（定義７ー１６）（商を割る数にかけると割られる数） による。
• 　Ｅ×Ｄ＝Ａ
  となっている。
  

そして
　ＡはＢにかけてＣをつくり、
　ＡはＤ、Ｅの積であるから、
　Ｄ、Ｅの積はＢにかけてＣをつくった。

• 　命題の設定、
  　前節、
  　公理の補足５（定義７ー１６）（等を等にかけると等）
  による。
  
• 　Ａ×Ｂ＝Ｃ、
  　Ａ＝Ｄ×Ｅ
  となり、
  　（Ｄ×Ｅ）×Ｂ＝Ｃ
  となっている。
  

したがって
　Ｃは立体数であり、
　Ｄ、Ｅ、Ｂはその辺である。

• 　定義７ー１８（立体数）
  による。
  

　これが証明すべきことであった。

• 命題９ー７は、
  　Ａ；合成数、
  　Ａ×Ｂ＝Ｃ
  ならば、
  　Ｃ；立体数
  のことである。
  
• 命題９ー７は推論用命題である。

  前提	作図	推論
  定義		7-14,7-18
  公準
  公理		補5(義7-16)
  命題		補4(義7-16)
  その他	コ4(題7-1)

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